Calcul intégrale

[ailita94]

Bonjour,
Je révise mon exam et y a un exercice où il faut calculer une intégrale je ne sais pas trop comment faire pour la simplifier et la calculer facilement:

Fn(x)=1/(2*pi) * sin²(n*x/2)/sin²(x/2)

Je dois calculer l'intégrale de -pi à pi de Fn(x) pour n=2012


J'ai essayé en écrivant ça en exponentielle, en remplaçant sin²(x/2) par 1/2(2-cos(x)) mais ça me fait toujours trop de calcul
Ca devrait être simple, mais je ne sais pas comment la simplifier

Merci
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[gg0]

Bonsoir.

Le résultat semble s'écrire de façon très simple (1006), mais comment le prouver.
Une récurrence sur n pour calculer F_n en fonction de F_n-1 sans doute.
Pour me comprendre, calcule F₁, F₂, F₃.

Cordialement.

[ailita94]

Donc on a que

∫ Fn(x) dx= n de -pi à pi

Pour la démonstration par récurrence je ne vois pas trop comment à partir de ∫ Fn(x) dx= n je pourrais arriver à ∫ Fn-1(x) dx= n-1
Merci

[gg0]

Non,

le résultat que tu annonces ne correspond pas à ce que je disais. mais comme de mon côté j'avais fait une erreur ... c'est le bon, et le résultat serait alors 2012.

Pour trouver une relation entre J_n et J_n+1 tu peux éventuellement calculer leur différence et utiliser la relation trigonométrique sin² a-sin² b = sin(a+b)sin(a-b) qui se prouve facilement en posant a=x+y et b=x-y dans le premier membre.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

Bonjour,
Connaissez-vous l'analyse complexe, le théorème des résidus, etc. ? Si oui, l'intégrale est élémentaire en introduisant la variable .