Le critère de cauchy - Les suites réelles

[invitee79f0f6c]

Bonjour,
Je suis en première année prépa, et en analyse, j'ai quelques difficulté à comprendre le critère de cauchy. Ok, c'est clair que si les termes sont bien condensés à partir d'un certain rang, c'est que la suites converge (dans R)... Mais c'est ces p et q, quelconque à partir du rang N qui m'agacent. Exemple de questions que je me pose :
- Si on montre que la suite ( ) converge vers 0, cela veut dire que est de cauchy ? (je pense que non, mais je sais pas comment le prouver)
- Si on montre que la différence entre deux suites extraites ( et par exemple) converge vers 0 (pas forcément adjacentes) cela veut dire que est de cauchy ?

Comment alors profiter de ce drôle de critère pour montrer qu'une suite est convergente ?

Merci à toutes et à tous, excellente journée
-----

[gg0]

Bonjour.

1) " Si on montre que la suite ( ) converge vers 0, cela veut dire que est de cauchy ?" A priori non, puisque ce n'est pas n et p quelconques (p dépend de n). ça peut être une suite de Cauchy, ou pas (prendre un=somme des 1/k pour k variant de 1 à n).
2) "Si on montre que la différence entre deux suites extraites ( et par exemple) converge vers 0" Même chose ! On n'applique pas le critère de Cauchy.

Je ne sais pas pourquoi tu tiens à trafiquer le critère de Cauchy. Il est très bien comme il est (et si on avait mieux, on n'en parlerait pas). Pour la convergence des séries numériques, il a quelques utilités, mais il est surtout très utile pour définir les réels à partir des rationnels, et généralisé, pour définir les espaces topologiques complets.

Pour l'instant, tu apprends, tu verras l'utilité au fur et à mesure des apprentissages.

Cordialement.

NB : Si tu veux en savoir plus, il faut apprendre les cours des années futures.
NBB : "c'est ces p et q, quelconque à partir du rang N qui m'agacent." ben tu n'as pas fini de t'agacer, car les quantificateurs (quel que soit, il existe) vont devenir de plus en plus importants, essentiels.

[invitee79f0f6c]

Ah d'accord, donc pour utiliser le critère de cauchy, on passe très souvent par la définition de la limite (les quantificateurs)...
Merci pour ta réponse, et, si c'est possible stp, je veux des exercices autour de ça, parce que je me sens réellement coincé quand je vois la question «Montrer que la suite est de cauchy».

[invite4bf147f6]

Bonjour,

Un contre exemple est la suite ln(n).

Un exemple d'exo, montrer que u_n=[2+(-1)ⁿ]/n est de Cauchy

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour montrer qu'une suite est de Cauchy, on utilise soit la définition : On choisit un epsilon >0, et on trouve un N (qui dépend de epsilon) tel que pour n'importes quels n et p supérieurs tous deux à N on peut prouver que |un-up|<epsilon (*)
soit des théorèmes qui disent que dans telles circonstances, la suite est de Cauchy (s'il n'y en a pas dans ton cours, ça viendra vite !).

Cordialement.

(*) la façon de la faire dépend des circonstances.

[invitee79f0f6c]

Ah, je pense que maintenant j'ai compris un peu le principe de la démonstration à l'aide du critère de cauchy. Regardes ce que j'ai fait:
Soit épsilon>0
On pose N= 2/épsilon
soit p et q > N
puis on fait des calculs des inégalités, en allant en implication, et on trouve que |Up-Uq|<épsilon
D'où Un est convergente.

Est-ce correcte ?

[gg0]

Oui, tu viens de redire ce que j'expliquais auparavant

[invitea6e91e1c]

Je pense qu'il y a un mot important et qui n'est pas mentionné dans ce fil pour comprendre : UNIFORME.

Le critère de Cauchy ne sert pas à montrer la convergence (simple) mais la convergence UNIFORME.

Les définitions de la convergence simple et de la convergence uniforme sont très ressemblantes à première vue lorsqu'on les regarde écrites avec des quantificateurs.

Or l'ordre dans lequel sont écrit les quantificateurs est important pour différencier la convergence simple de la convergence uniforme.

Dans la convergence simple, on ne s'intéresse qu' à une seule suite.
Dans la convergence uniforme, on s'intéresse à toutes les suites. Et pour faire cela, on ne raisonne pas sur une suite en particulier mais sur la difference ou la distance entre deux suites.

[Médiat]

Bonjour,

Désolé d'être brutal, mais vous avez tout faux, le critère de Cauchy s'applique bien ici à une seule suite, la convergence uniforme s'applique aux suites de fonctions.

(On peut trouver une vague notion d'uniformité dans le critère de Cauchy, mais c'est plus générateur de confusion qu'autre chose, à mon avis)

[invitea6e91e1c]

Bonjour,

Oui exact. On s'interesse en fait à la difference entre deux termes de la suite.