Aide sur les isomorphismes

[invite947bdf2f]

Bonjour à tous !

Depuis ce matin, je me casse la tête sur mon cours d'Algèbre et plus particulièrement sur les isomorphismes. Avant de vous expliquer ou je bloque, voici ce qu'on me demande :

Enoncé.gif

Ne sachant pas bien comment m'y prendre, j'ai réalisé un tableau contenant les différentes entrées afin d'y trouver une symétrie. Voici le résultat que j'ai obtenu :

tbl.png

Et la, je coince :/ Le seule constat que j'ai pu en tirer (et encore, je doute de sa validité) est la relation 1 --> 0 (Le neutre pour chacun des groupes)
Mais impossible d'aller plus loin. Le fait de n'avoir aucune "symétrie" apparente voudrait dire qu'il n'existe pas d'isomorphisme entre les deux ?


J'ai également un deuxième exercice, mais n'ayant pas la réponse j'aimerais vous demander votre avis :
Le groupe Z, + et IR, + sont-ils isomorphes ?
J'aurais tendance à dire qu'ils ne peuvent pas être isomorphes car il n'existe pas de bijection entre Z et IR (Contre exemple : Il n'existe pas de bijection tq : x + y dans Z vers un nombre décimal de IR).

Enfin voila, vous l'aurez remarquer, je peine un peu :/ J'espère que mon message est suffisamment clair, c'est jamais vraiment évident de s'exprimer sur un forum en n'ayant que de faibles notion en LaTeX
Si quelqu'un peux me donner quelques indications sur la marche à suivre, je suis preneur !

Merci d'avance!
Nico
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[gg0]

Bonjour.

En attendant de pouvoir te lire ("pièce jointe en attente de validation"), une remarque :

Le groupe Z, + et IR, + sont-ils isomorphes ?
J'aurais tendance à dire qu'ils ne peuvent pas être isomorphes car il n'existe pas de bijection entre Z et IR (Contre exemple : Il n'existe pas de bijection tq : x + y dans Z vers un nombre décimal de IR).

je ne comprends pas ton "contre exemple", c'est à dire de quelle propriété il est un contre exemple.
Mais si tu reviens à la définition d'un isomorphisme (revois-la), dès qu'une des propriétés de la définition est fausse, la définition n'est plus valide.

Cordialement.

[invite947bdf2f]

*** Suppression des liens ***
Pour mon contre-exemple, ce n'en est pas vraiment un. Ce que j'ai voulu dire, c'est que "l'ensemble IR contient plus d'élément que l'ensemble Z" et donc "Il ne peut y avoir de bijection de l'un vers l'autre". C'est pas très "mathématique" mais j'aimerais savoir si "l'idée" est juste (Car s'il n'existe pas de bijection de l'un vers l'autre, par définition ce n'est pas un isomorphisme

[Médiat]

Bonjour,

La phrase "le groupe suivant est-il un isomorphisme" n'a pas de sens, de plus les deux structures proposées ne sont pas des groupes, ce ne sont même pas des LCI.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

C'est pas très "mathématique" (...)

Effectivement

Pour donner une justification claire et précise, utilise la notion de dénombrabilité d'un ensemble.


Cdt

[gg0]

*** Suppression des liens ***
Pour mon contre-exemple, ce n'en est pas vraiment un. Ce que j'ai voulu dire, c'est que "l'ensemble IR contient plus d'élément que l'ensemble Z" et donc "Il ne peut y avoir de bijection de l'un vers l'autre". C'est pas très "mathématique" mais j'aimerais savoir si "l'idée" est juste (Car s'il n'existe pas de bijection de l'un vers l'autre, par définition ce n'est pas un isomorphisme

Soit tu as une preuve ou un théorème qui te dit que et ne sont pas en bijection, et tu as ta preuve, soit tu n'en sais rien, et il te reste à voir s'ils sont en bijection ou nojn (tu en as besoin si c'est un isomorphisme, pour faire ta preuve.

NB : D'où sors-tu cet "énoncé" atterrant ?

[Médiat]

Si on ne veut pas passer par les cardinalités, il suffit de constater que (quel qu'il soit) dans vérifie , alors que 1 ne vérifie pas cette formule dans , et donc et ne peuvent être isomorphes.

[invite947bdf2f]

Bonjour,

La phrase "le groupe suivant est-il un isomorphisme" n'a pas de sens, de plus les deux structures proposées ne sont pas des groupes, ce ne sont même pas des LCI.

J'avoue que sur ce point c'est moi qui ai fait une petite bourde en voulant aller trop vite. L'énonce exact est :
Les groupes suivants sont-ils isomorphes ? Si oui, donner un isomorphisme. Si non, justifier soigneusement.

[gg0]

C'est quoi, ces groupes ?

Car pour l'instant les lois proposées ne sont pas des lois de groupes, donc c'est évident qu'il n'y a pas d'isomorphisme de groupe, faute de groupe

[invite947bdf2f]

Alors ces deux groupes sont :

1. Z_5 \{0} = Groupe des entiers calculés modulo 8 muni de la loi de multiplication
2. Z_4 = Groupe des entiers calculés modulo 8 muni de la loi d'addition

Après réflexion, je pense que Z_5 \{0} n'est pas un groupe car il n'est pas interne. En effet :
(2*4)%8 = 0, qui n'appartient pas à Z_5 \{0}
Si ce que je dis la est correct, alors je viens de répondre à ma question et il n'y aura pas d'isomorphisme

Par contre, je ne vois pas pourquoi Z_4 = Groupe des entiers calculés modulo 8 muni de la loi d'addition ne pourrait être un groupe :/

[Médiat]

Par contre, je ne vois pas pourquoi Z_4 = Groupe des entiers calculés modulo 8 muni de la loi d'addition ne pourrait être un groupe :/

Parce que 3 + 3 = 6

[invite947bdf2f]

Parce que 3 + 3 = 6

J'ai cru comprendre lors des séances d'exercices que l'opération suivante était la suivante : (3+3)%8 = 2

[Médiat]

Regardez votre message N°1

[gg0]

Heu ...
le reste de la division de 3+3 par 8 est 6

[invite947bdf2f]

Heu ...
le reste de la division de 3+3 par 8 est 6

Oui, c'est un fait
Je dois être très fatigué, et j'ai surtout mal rédigé mon message initial !

Merci pour votre aide en tous cas