[Probas]: Cov(X+Y,X-Y)= 0 ?

[invite14058c8d]

Bonjour,

Il me manque une petite étape dans un exercice et j'aurais besoin d'aide...

On lance un dés a six face 2 fois. Soit W la somme du premier et du second lancé. Soit V la difference du premier et du second lancé.

Montrer que Cov(W,V)=0 mais que W et V sont independents.

Ce que j'ai fais:

Soit X le premier lancé

Soit Y le second lancé

Cov(W,V)=Cov(X+Y,X-Y)= Cov(X,X) + Cov(X,-Y) + Cov(Y,X) + Cov(Y,Y) =VarX - VarY

C'est ici que je doute, je peux dire que VarX=VarY car ce sont 2 lancés "similaires" n'est ce pas? Ca n'a aucun rapport avec le fait que X et Y sont independents donc.

Merci pour votre aide,

Jonathan
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[invite179e6258]

Montrer que Cov(W,V)=0 mais que W et V sont independents.

c'est plutôt "mais que W et V sont dépendants"

ils sont dépendants parce que si W=2 ou W=12 alors V=0 (en d'autres termes P(V=0|W=2)=1 alors que P(V=0) n'est pas 1)

[invite14058c8d]

oui exact, je sais pas pourquoi j'ai mis indépendants...

[invitea6e91e1c]

Pour montrer la dependence, on doit faire apparaitre une relation entre W et V.
Par exemple, on voit que W=V+2Y.

Pour montrer le non-correlation, il faut calculer E(WV), E(W) et E(V).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

C'est ici que je doute, je peux dire que VarX=VarY car ce sont 2 lancés "similaires" n'est ce pas? Ca n'a aucun rapport avec le fait que X et Y sont independents donc.

Tu peux en effet dire ça, et plutôt que "similaire", dire que X et Y ont même loi.

Ça n'a effectivement rien a voir avec l'indépendance de X et Y

[invitea6e91e1c]

C'est vraiment V qui fait que la covariance est nulle.
En effet V peut prendre des valeurs entre - 5 et +5, avec une certaine probabilité d'occurence pour chaque valeur.

C'est parceque V varie "autour de zéro" que la covariance est nulle.

Cela se retrouve facilement avec les equations.
Mais il est bon de garder à l'esprit ce fait là : Si une variable aléatoire est centrée en zero, alors la covariance de cette variable aléatoire avec n'importe quelle autre variable aléatoire, qu'elle soit dépendante ou pas, centrée en zero ou pas, sera nulle.

[gg0]

Pseudoarallonge,

tu crois vraiment que la covariance de V avec 3V est toujours nulle quand l'espérance de V est nulle ?

Cordialement.

[invitea6e91e1c]

Pseudoarallonge,

tu crois vraiment que la covariance de V avec 3V est toujours nulle quand l'espérance de V est nulle ?

Cordialement.

cov(V,3V)=E(V-E(V))*E(3V-E(3V))

Or E(V)=0, donc E(V-E(V))=E(V-0)=E(V)=0, donc cov(V,3V)=0*E(3V-E(3V))=0

Satisfait?

[acx01b]

non pseudoarallonge,

où sont les moyennes de

[invitea6e91e1c]

non pseudoarallonge,

où sont les moyennes de

acx01b, je vous invite humblement à aller faire un tour sur Wikipedia pour voir la definition de la covariance...

[invite179e6258]

la définition de wiki m'a l'air correcte, et celle de acx01b aussi puisque c'est la même.

[gg0]

cov(V,3V)=E(V-E(V))*E(3V-E(3V))

Or E(V)=0, donc E(V-E(V))=E(V-0)=E(V)=0, donc cov(V,3V)=0*E(3V-E(3V))=0

Satisfait?

Non !

Ton calcul de la covariance est faux !
Si c'est faux sur wikipédia, ce n'est pas ma faute, mais la définition de la covariance n'a pas changé depuis plus d'un siècle. Et la covariance de X avec lui-même est sa variance. Ce sont des connaissances élémentaires de probas ou stats.

Edit : je viens de vérifier, la définition de Wikipédia est correcte, c'est toi qui ne sais pas lire !