Bonsoir j'ai un peu de mal avec un exercice :
Momtrer qu'une famille (u1,u2....up) de vecteurs de V est livre ssi la famille ([u1]B , [u2]B, ...[up]B) de leur colonnes de composantes est libre dans R^n.
Alors j'ai pensé au faite que
u = P [u]B pour P est la matrice de passage
soit x1....,xp des reels
(u1,u2....up) est libre :
x1u1 + x2u2 ,....+xpup =0
je dois demonter ca
x1P[u1]B + x2P[u2]B +....xp[up]B =0
mais je ny arrive pas..
Merci
Bonjour.
Il faudrait apprendre la bonne définition de famille libre :
"(u1,u2....up) est libre :
x1u1 + x2u2 ,....+xpup =0 " ??? C'est n'importe quoi !
Après, en supposant que (u1,u2....up) est libre, tu pourras essayer de démontrer que ([u1]B , [u2]B, ...[up]B) est libre.
Mais d'abord apprendre tes leçons.
Cordialement.
NB : Tu n'utilises pas la matrice de passage (On peut le faire, avec des outils plus élaborés).
Pardon j'ai écris un peu vite
x1u1 + x2u2 ,....+xpup =0 " ??? C'est n'importe quoi !
si x1 =x2...=xp=0
Je ne dois pas utiliser la matrice de passage ? pourtant c'est la seule relation qui peut lier u et [u]B
Ah j'ai peut etre trouvé
alors
on sait que
c1[u1]B + ....cp[up]B = [c1u1+....cpup]B
(u1,u2....up) libre
On pose c1u1 + c2u2 + c3u3 +...cpup =0 ssi c1 c2 c3...cp =0
on aurait alors :
c1[u1]B + ....cp[up]B = [c1u1+....cpup]B = [0]B
Je peux conclure là ?
Cordialement.Envoyé par ADPB
Je suis désolé mais c'est bien ca la propriété
(u1,u2...up) libre
x1u1 +.....xpup= 0 ssi x1=x2=...xp=0
Bon, tant que tu ne feras pas ton travail sur le cours, inutule qu'on poursuive.Ah j'ai peut etre trouvé
alors
on sait que
c1[u1]B + ....cp[up]B = [c1u1+....cpup]B Ok !
(u1,u2....up) libre
On pose c1u1 + c2u2 + c3u3 +...cpup =0 ssi c1 c2 c3...cp =0 ??? Pourquoi poser ça ? Ah oui, tu n'as pas appris la définition !!!
on aurait alors :
c1[u1]B + ....cp[up]B = [c1u1+....cpup]B = [0]B
Je peux conclure là ?
rappel : "x1u1 + x2u2 ,....+xpup =0 si x1 =x2...=xp=0" est une évidence, que la famille soit libre ou liée, vue la définition d'un espace vectoriel. Donc prouver qu'un famille est libre n'utilise pas ça.
J'ai mis le SSI si et seulement
x1u1 + x2u2 ,....+xpup =0 a pour seule solution x1....=xp=0
Mais on s'en fout du ssi.
Pour la preuve, on n'a besoin que de la propriété utile. A toi de t'en servir...
D'accord mais bon là je suis parti sur deux raisonnements différents..c'est lequel que je dois suivre pour reformuler tout ca
on sait que
c1[u1]B + ....cp[up]B = [c1u1+....cpup]B
(u1,u2....up) libre
donc c1u1 + c2u2 + c3u3 +...cpup =0 admet pour unique solution c1 =c2=cp=0
on doit démontrer que
c1[u1]B + ....cp[up]B = [0]B admet aussi pour unique solutin c1=c2...=cp=0
Ainsi on pourra conclure que ([u1]B , [u2]B, ...[up]B) est libre
Donc là je dois essayer de prouver ca
c1[u1]B + ....cp[up]B = [0]B admet aussi pour unique solutin c1=c2...=cp=0
Vu la propriété,
pour prouver qu'une famille est libre, on prend une combinaison linéaire nulle et on prouve que ses coefficients sont nuls (Tu n'as pas ça dans ton cours ? Sérieux ?)
Donc ici, avec l'hypothèse (u1,u2....up) libre, tu pars d'une combinaison linéaire nulle de [u1]B , [u2]B, ...[up]B :
c1[u1]B + ....cp[up]B = 0Rn. (le nul de Rn ne dépend pas de la base choisie !)
Donc ...
...
donc c1=c2=...=cn=0.
Voilà ce que tu dois faire, comme tu l'as vu en cours ...
Si si j'ai ca
mais attend notre hypothese c'est (u1,u2....up) libre
c1u1 + c2u2+...cpup=0 donc c1 = c2 =cp=0
c1[u1]B + ....cp[up]B = 0Rn. (le nul de Rn ne dépend pas de la base choisie !)
Donc ...
...
donc c1=c2=...=cn=0.
Oui c1=c2=cp=0 mais je dois démonter que c'est l'unique solution pour conclure que ([u1]B , [u2]B, ...[up]B) est
Bon c'est peut etre pas clair ce que je dis mais en faite pour moi c'est comme si je te dis
tu veux montrer que u et v et w sont libre
et tu fais 0u + 0v + 0w = 0 ... mais c'est peut etre pas l'unique soution
je sais pas si tu vois mon probleme
Bon,
je vois que tu ne comprends même pas ce que j'écris ! et que tu t'obstine à réécrire ta ligne "c1u1 + c2u2+...cpup=0 donc c1 = c2 =cp=0" au début où on s'en fout, puisqu'on n'a pas encore de c1.
Je te laisse mariner un peu dans ton jus, que tu finisse par comprendre ce qu'il y a dans ton cours (et que j'ai réexpliqué). Et comprendre que j'ai écrit le schéma de la preuve, pas la preuve (tu serais idiot de le croire !!
Mais ce que tu écris n'a pas de sens.
Pire :Là tu deviens malsain parce que justement, ce n'est pas ce que j'ai écrit. C'est toi qui bêtement commence par dire que c1, c2 ...cn sont nuls ! Moi je ne l'ai pas écrit.mais en faite pour moi c'est comme si je te dis
tu veux montrer que u et v et w sont libre
et tu fais 0u + 0v + 0w = 0
Donc demain, reprends ça à zéro, en y réfléchissant sérieusement !
C'est bon j'ai trouvé
On suppose que (u1,u2....up) libre
Soit la famille ([u1]B , [u2]B, ...[up]B)
On pose l'équation
c1[u1]B + ....cp[up]B =0
[c1u1+....cpup]B = 0
ssi c1u1+....cpup = 0 ( pour voir [0]B = 0 )
Or on a supposé (u1,u2....up) libre donc c1u1+....cpup = 0 admet pour unique solution c1 =c2...=cp=0
Tu en penses quoi ?
Ne faudrait-il pas aussi démontrer la réciproque ?
Je pense qu'il faut restructurer le raisonnement :
1) D'abord définir les objets sur lesquels on va travailler : (u1,u2....up) et ([u1]B , [u2]B, ...[up]B)
2) Ensuite montrer l'équivalence entre les deux équations
3) Enfin, supposer qu'une des deux familles est libre pour en déduire que l'autre l'est aussi (donc deux cas à traiter).
Commencer par la supposition me semble être une mauvaise idée.
OK, ADPB.
Là, on est dans un raisonnement construit. Tu peux dans ta rédaction papier tenir compte des conseils de CB : Pas le 1, puisque l'énoncé le fait, le 2 tu n'as déjà fait mais pas repris ici, mais surtout traiter la réciproque, qui se fait de même. Veille à avoir à chaque étape une application claire d'une propriété vue en cours.
Cordialement.
Ok merci pour votre aide
