Équation du second ordre

[invitecf68b8be]

Bonjours je suis en MPSI je m'exerce en vu d'un DS sur les équa diff samedi, je tente de résoudre y′′−2y′+5y=-4x exp(-x)cos(x) donc je dis que c'est pas la partie réelle de -4x exp((-1+i)x) pour le second membre. J'ai trouvé la solution particulière complexe, mais pour la solution partiuclière je rencontre un petit problème, Sp(x) est de la forme : (Ax+B)exp(-1+i)
Je me retrouve avec un système bizarre : (7a-2ai=4)
(-4a+2ai+7b-4ib=0)
Je trouve a= 4/(2i-7)
Aprés j'espère trouver des b égaux, en identifiant la partie réelle de -4a+2ai et en utilisant le théorème qui dit que ai+b=ci+d ssi a=c et b=d
mais mes b ne sont pas égaux. J'ai refait l'exo deux fois, même problème aidez mi s'il vous plait!!!! merci!
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[gg0]

Bonsoir.

"J'ai trouvé la solution particulière complexe,... Sp(x) est de la forme : (Ax+B)exp(-1+i) "
Ce ne serait pas plutôt (Ax+B)exp(-x+ix)

Cordialement.

[invitecf68b8be]

Oui c'est se que j'ai chercher excusez moi. Si vous avez le temps pourriez vous essayer et voir si vous arrivez au même système pour trouver a et b? Merci

[acx01b]

salut, tu as une équation différentielle linéaire
dont le membre de droite c'est
donc tu as posé

en te disant bien que c'est ok car ne s'annule pas


ensuite tu développes ton membre de gauche :


et selon qui ici est un polynôme de degré 1 et ce que tu obtiens comme nouveau membre de gauche, tu es amené à dire "un polynôme de degré 1 pour " ça devrait le faire,

il ne te reste plus qu'à nous donner les détails si une des étapes te pose problème, où si tu n'arrives pas à voir pourquoi fonctionne ou pas

et tout à la fin il ne reste plus qu'à ajouter les solutions de l'équation homogène

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecf68b8be]

Dac merci, mais je sais les faire d'habitude, mais celle là ne marche vraiment pas j'ai l'impression...
Je le développe :
Sp=(ax+b)e(i-1)x Sp'=(a-ax+aix-b+ib)e(-1+i)x Sp''=(2(-a+ai)+ax-aix+b-ib-aix-ax-ib-b)e(i-1)x

On obtient en réinjectant et en simplifiant par e(i-1)x : -4a+2ai+7b-4ib+7ax-2aix=-4x on obtient donc le système que j'ai posé dans le premier message, et je ne trouve pas les solutions.... Merci de m'éclairer c'est gentil

[acx01b]

je ne vois pas trop de raison qui interdit que la solution soit un polynôme de degré 2 ..
il suffit que les coefficients en x^2 s'annulent dans le membre de gauche

[acx01b]

en fait en regardant de plus près, si ton membre de gauche n'a pas d'erreur :
(-4 + 2i) a + (7 - 4i) b = 0
7a - 2a i = -4

je ne vois pas le problème, a et b sont des complexes, on est d'accord ?

[invitecf68b8be]

oui on est d'accord, je trouve a=4/(2i-7) mais pour b je le fait par identification de la partie entière et de la partie imaginaire, et c'est là que ça deviens incohérent je trouve deux b différents.

[gg0]

Voyons !!

b est un complexe, lui aussi et se calcule en fonction de a (c'est bien ainsi que tu as pu trouver a).
" identification de la partie entière et de la partie imaginaire" concerne du travail sur des réels.

Cette méthode paraissant délicate pour toi, tu peux essayer de rester en réels et prendre un second membre de la forme (ax+b)exp(-x)cos(x) + (cx+d)exp(-x)sin(x)

Cordialement.

[invitecf68b8be]

J'ais réussi en fait, j'avais fait une faute dans la recopie d'énoncé, désolé --' merci beaucoup bonne soirée