Aide sur un integrale

[inviteb4506c4a]

Bonjour, quelqu'un peut m'aider de trouver le résultat de cette intégrale?

l’intégrale de [exp(-x)*x^n] entre (-oo) et kh??
Noté bien que "kh" la deuxième extrémité de l’intégrale est un constante.
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[acx01b]

salut, il y a deux techniques souvent employées pour résoudre des intégrales :
- changement de variable
- intégration par partie
note qu'on peut faire un peu des 2, et plusieurs fois de suite, dans ton cas tu tenterais quoi ?

[inviteb4506c4a]

Je veux obtenir une relation de récurrence qui permet de calculer cette intégrale quelque soit n.

[Universus]

Une autre technique est de considérer la fonction définie par (le domaine de définition de dépend de b et de c). L'intégrale d'intérêt premier est seulement . Néanmoins, nous avons et puisque se calcule aisément, il est alors simple de résoudre le problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4506c4a]

Mais je besoin d'une relation de récurrence qui permet de calculer l’intégrale de [exp(-x)*x^n] entre (0) et (-infini)

[inviteb4506c4a]

je vais donner un exemple pour bien comprendre ma question.. en fait l’intégrale de [exp(-x)*x^n] entre 0 et l'infinie égale a n!.
alors mon question concernant l’intégrale de [exp(-x)*x^n] entre (-infinie) et kh.

Noter bien que "kh" est un constante.

[acx01b]

classe Universus !
juste pour savoir, pour légitimer l'inversion dérivation/intégrale (sur la fonction de départ avec b = -infini) tu dirais quoi ?

[gg0]

Bonsoir.

Su tu veux une relation de récurrence, tu fais une intégration par parties (en dérivant x^n); ça marche tout seul.

Bon travail !

[Universus]

Bonjour,

J'ai aussi donné une relation de récurrence, mais elle n'est peut-être pas tout à fait de la forme souhaitée.

Pour répondre à acx01b, j'ai mis b plutôt que -infini parce que

1) d'une part ne pas avoir à trop me casser la tête sur la justification de permuter l'intégrale et la dérivation (il me semble que lorsque l'intégrale se fait sur un compact, «rien» ne s'oppose à cet échange),
2) d'autre part l'intégrale de [TEX]e^{-x}x^n[\TEX] depuis -infini diverge...

Pour une justification de l'échange dans le cas où le domaine d'intégration n'est pas compact, j'admets avoir éviter d'y penser... Par définition d'une intégrale sur un domaine non compact, il faut prendre la limite d'intégrales sur des domaines compacts convergeant vers le domaine non compact d'intérêt. Cela ramène donc partiellement la justification de l'échange à celle de cet échange dans le cas d'un domaine compact. Il reste néanmoins à justifier l'échange entre la dérivation et la limite sur le domaine, ce qui nécessite des conditions plus restrictives (dont je ne me rappelle plus). Néanmoins, avec la fonction que nous étudions, rien de bien problématique ne doit se produire.