norme equvalentes

[farmed]

bonjour
soient N1 N2 deux norme d'un evn E telles que pour tout (a) de E chaque boule de centre (a) pour N1 (resp N2) contient une boule de centre (a) pour N2 (resp N1 ) on montre que N1 et N2 sont équivalentes
merci pour votre temps
-----

[gg0]

Bonsoir.

N'est-ce pas la définition ? Peut-être réécrite en termes de boules, mais la traduction est immédiate.

Cordialement.

[farmed]

bonjour
plus d'explication svp
la definition qu on a fait dans notre cours est : N1,N2 sont equivalentes ssi ils existent a, b de IR+ tels que
bN2<N1<aN2 cette definition implique l'autre mais je pense que la reciproque n'est pas assez simple
merci pour votre temps

[gg0]

Ok.

Pourquoi ne fais-tu pas la preuve ? Car "je pense que" est surtout une opinion qui t'empêche d'avancer. Alors rédige la preuve sur ce forum, et si tu butes, on t'aidera à finir (ou à montrer que c'est faux) :
"on suppose que N1 et N2 sont deux norme d'un evn E telles que pour tout (a) de E chaque boule de centre (a) pour N1 (resp N2) contient une boule de centre (a) pour N2 (resp N1 ).
Prenons a=0 ...

J'ai pris a=0 car dans un evn, la norme d'un élément est sa distance à 0, ce qui simplifie les calculs.
A toi de continuer, tu as une formation et un cerveau ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[farmed]

bonjour
bon pour la réciproque j'ai fait ce que vs aviez proposé mais cela ma conduit a montrer que pour tout x de E il existe a tel que N2(x)<aN1(x) en effet pour une boule de centre 0 et de rayon N1(x) il existe (a) de IR+ telle que la boule de centre 0 et de rayon (N2(x)/a) soit inclus dans la premiere boule (c selon l'hypotheze) or ceci est different de montrer que il existe (a) tel que pour tout x N2(x)<aN1(x)
merci pour votre temps

[gg0]

Bon.

Alors allons plus loin. Tu peux pour commencer montrer que tu peux te ramener à un x de norme 1. En raisonnant bien tu vas voir arriver une condition intéressante qui te permettra de conclure.

Cordialement.

Nb : A vue de nez, je suis allé un peu vite dans mon premier message. Et je suis sans doute un peu à mes limites de connaissances (je n'ai jamais travaillé sur ce genre de sujets).

[farmed]

désolé mais je pense que j'ai pas compris votre idée
plus d'explication svp