somme d'une série

[invite4c80defd]

Bonsoir, à tous,
je viens de découvrir aujourd'hui le concept de séries entieres et j'ai pour demain quelques exos:
je dois déterminer la somme de plusieurs séries.
en voici une:
sigma(1/(2n+1)!)
il fallait montrer qu'elle convergeait j'y suis arrivé.
mais pour la somme je ne comprend pas car si on fait le lien avec les séries entieres, on a pas une expression de la forme a_n*zⁿ, amoins de prendre zⁿ avec z=1.

mais alors comment calculer cette somme, parce que je dispose bien de theoremes de dérivation et d'intégration mais je ne parviens pas à m'en sortir...

quelqu'un aurait-il une idée ?


merci d'avance
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[invite4c80defd]

peut etre existe-il une méthode pour ce genre de série ou bien des propriétés ou des astuces qui me permettraient de modifier ou d'identifier quelque chose permettant d'avancer sur le probleme...qu'en dites-vous ?

[gg0]

Bonjour.

Ton exercice ne concerne pas une série entière, mais une série simple (même pas une série de fonctions !!). On applique donc les règles de convergence des séries simples (critère de D'alembert).

Au passage : Saurais-tu prouver que

converge pour tout z complexe ?

Pour ta série, comme elle fait penser à la série de l'exponentielle pour x=1 avec seulement les termes impairs, on peut penser à la série de sh, qui ne contient justement que les factorielles d'impairs.

Cordialement.

[invite4c80defd]

prouver que la série que vous avez écrit converge pour tout z complexe : d'apres ce que j'ai fais , normalement, c'est bon.
j'ai trouver le formule dont vous parliez, et en effet , on retombe sur ma série pour x=1. du coup, que dois-je en déduire pour ma somme, qu'elle vaut sh(1) ?

désolé si je fais des erreurs énormés, mais comme je l'ai dit , je débute sur ces séries....

J'ai encore une question:
j'ai la série sigma( (n^2+n-2)/n! ) et je bloque aussi dessus , ainsi qu'avec sigma( nsin(ntétha)/2^n) avec théta appartenant à R.
y'a-til des formules ou fonctions auxquelles on peut se raccrocher là aussi ?

merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

"du coup, que dois-je en déduire pour ma somme, qu'elle vaut sh(1) ?" Il faut vraiment que je réponde ? "M'sieur, j'au trouvé 2, je marque 2?"

Pour sigma( (n^2+n-2)/n! ), tu peux décomposer en trois séries en décomposant la fraction.
Pour sigma( nsin(ntétha)/2^n), je ne vois pas.

[invite4c80defd]

ok merci pour la premiere.

Pour la seconde, j'ai coupé en trois, mais , je suis ua regret de vous dire que, meme en modifiant un peu les deux premieres fractions (simplifications), je n'ai pas trouvé de fonctions comme pour la premiere, hormis exp(x)=sigma(x^n/n!) qui pourrait etre utile pour le dernier morceau : -2/x^n...

[invite4c80defd]

pour la derniere, j'ai une idée, qui ne veut peut etre rien dire , mais je vais essayer:
le fameux x^n ne serait caché en (1/2)^n ?

[gg0]

Pour ta deuxième, après simplification, on peut faire un changement d'indices qui ramène à une exponentielle ou à une nouvelle somme à décomposer. Pas besoin de faire intervenir une série entière, juste :

[invite4c80defd]

je n'ai pas tres bien compris...
je vais détailler un peu où j'en suis.
mon terme général est: n^2/n! +n/n!-2/n!
pour le dernier terme, c'est bon.
pour le 2eme: on a n/n!=1/(n-1)!
pour le premier: on a:n^2/n!=n/(n-1)!
mais pour ces deux là, et surtout pour le dernier , je tourne un peu un rond ...où est-ce que j'ai loupé quelque chose ?

merci

[gg0]

avec p= n-1.
En prenant ses précautions bien sûr : le terme pour n=0 a disparu dans la somme puisqu'il est nul, donc n commence à 1

Même principe pour le premier terme

Mais il faut commencer par écrire trois sommes.

Bonne continuation !

[invite4c80defd]

ah oui en effet! j'avais fait ce changement mais mon n commencait à 0 et donc p à-1 ! il y a avait des soucis.
pour le second terme, du coup c'est bon.
malheureusement, cette méthode agréable ne fonctionne pas pour le premier: :n^2/n!=n/(n-1)!= ? parceque le n au numérateur est génant et bloque tout..
qu'est-ce que je fais de ce terme du coup ?
essayer de bidouiller la formule ?

[invite4c80defd]

et pour le derniere série, vous n'avez pas une petite idée ? histoire de ne pas arriver en cours sans une petite piste de reflexion...pourrait-on partir sur mon hypothèse "x^n ne serait caché en (1/2)^n " ? meme si cela ne vaut pas grand chose , voir peut etre rien du tout...

[gg0]

Pour le dernier, je te l'ai dit, tu fais le changement d'indice, puis tu décomposes en deux séries. Tu aurais pu y penser, ce sont des méthodes qu'on vient d'employer..
La dernière série ne me dit rien. Avec les sin(n theta) je doute qu'on puisse la calculer simplement.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

je ne comprend pas car si on fait le lien avec les séries entieres ...

sigma( nsin(ntétha)/2^n) avec théta appartenant à R.

Vous pouvez écrire en utilisant la forme complexe du sinus et vous pouvez vous ramener au calcul de (je ne dis pas qu'il y a égalité) :

ce qui vous ramène à .

Je ne suis pas allé plus loin, à vous de voir si c'est fécond...

[gg0]

Bien vu !

Cordialement.

[invite4c80defd]

j'ai fais ce que vous avez dit pour le deuxieme et troisieme membres de cette série, et cela fonctionne bien.
seulement,c'est n^2/n! qui me pose probleme, et je doute fort que l'on puisse scinder en deux, et en modifiant les indices arriver à calculer ça....

[gg0]

Message 13 : Gg0 écrit :

je te l'ai dit, tu fais le changement d'indice, puis tu décomposes en deux séries. Tu aurais pu y penser, ce sont des méthodes qu'on vient d'employer..

Bien sûr après avoir simplifié !

Lis-tu les réponses qu'on te fait ?