Limite intégrale

[invite11607b38]

Salut à tous !

J'ai devant moi un exercice qui me résiste depuis maintenant plusieurs jours.

En voici l'énoncé : Soit f : [0;+infini[ -> R continue. On suppose que l'intégrale de 0 à + l'infini de f(t).dt converge.

Calculer la limite lorsque x tend vers + l'infini de 1/x fois l'intégrlae de 0 à x de t.f(t).dt.

Je n'aime pas trop demander de l'aide sans avoir au préalable exploré plusieurs pistes, mais je dois avouer que pour le coup je n'en ai pas encore trouvé...

Toutes vos remarques/suggestions/indications sont les bienvenues !

Par avance merci pour votre aide et votre patience.

@bientôt,

NeO'
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[invite6b1b961f]

Si ton intégrale converge, alors quand x tend vers l'infini, elle tend vers un nombre finis, que tu divises par un nombre infini, conclusion ?

[gg0]

Heu ...l'intégrale qu'on divise n'est pas celle qui converge !

Cordialement.

[invite6b1b961f]

Ha oui j'ai mal lu l'énoncé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

On doit pouvoir s'en sortir avec la formule de la moyenne.

[invite11607b38]

Effectivement l'intégrale est celle de t.f(t), pas juste de f(t), ce qui complique l'exercice (dommage car sinon effectivement c'était vite vu ^^).

Si je ne m'abuse la formule de la moyenne ne me donnera pas une égalité directement ? Il me faudra alors au moins une autre inégalité...

Pourrais-tu s'il te plait m'en dire davantage sur ce que tu as en tête ?

Merci pour vos réponses, à bientôt.

[gg0]

L'idée serait de choisir un e>0, de décomposer l'intégrale en deux parties, une partie sur [0;A] où l'intégrale divisée par x va tendre vers 0 et une partie où on va appliquer la formule de la moyenne, en laissant f à l'intérieur, ce qui nous ramène à l'intégrale convergente. En choisissant A correctement, l'intégrale (en valeur absolue) peut être rendue inférieure à e, et son facteur est inférieur à 1. Bilan : en valeur absolue, une intégrale inférieure à tou e>0.

Il me semble qu'il y a des preuves élégantes de cet exercice classique, mais je ne me souviens pas (ou je me trompe).

Cordialement.

[invite11607b38]

On parle bien de cette formule-là :

Première formule de la moyenne : Soient f, g deux fonctions continues de [a,b] dans R, avec g positive. Alors :

http://www.bibmath.net/dico/f/images/fmoyenne0x.png

Car en l'appliquant directement, sans scinder l'intégrale en deux morceaux, j'obtiens que la limite de ce que je cherche vaut c/x fois l'intégrale de 0 à x de f(t).dt.

Sachant que ladite intégrale converge (i.e. elle admet une limite finie) et que x tend vers + l'infini, j'en déduit que la limite vaut 0.

Ça me parait trop simple, ai-je fait une grossière erreur ?

[gg0]

Non,

mais une erreur subtile : c dépend de x (je le note donc c(x)) et rien ne dit que c(x)/x a une limite (c'est une nombre compris entre 0 et 1).

Cordialement.

NB : C'était ma première idée, mais on ne trouvait pas la limite.

[inviteea028771]

Je pense que pour f positive j'ai la solution :

Si on note F(x) la primitive de f(x) qui tend vers 0 en +oo (possible puisque l'intégrale est convergente)

Alors



La première partie tend vers 0 car F(x) tend vers 0, et pour la seconde partie :

F(x) tend vers 0, donc quelque soit , il existe T tel que

Donc



Ainsi


Et pour un x assez grand, c'est plus petit que epsilon, d’où la convergence vers 0

On se ramène au cas général en écrivant que pour x > 0

[invite11607b38]

Merci à tous, ça marche comme sur des roulettes !