Nom d'une distribution

[coussin]

Bonjour à tous

Je m'intéresse à la distribution suivante (appelons la ...) qui agit sur une fonction test :


Je me demandais si cette distribution était connu, si elle avait un nom particulier.

Merci d'avance
-----

[invite47ecce17]

Bonjour,
Oui, elle a un nom, la distribution nulle (et meme un surnom "0" ).

[coussin]

Ah oui, c'est toujours nul…
Mon idée était de la "multiplier" par la distribution delta (je sais que la multiplication de deux distributions pose problème…) puisque, si je ne me trompe

[invite47ecce17]

En fait le second terme dans ton egalité est juste une convention pour ecrire le premier terme d'une manière suggestive, mais ca n'est aucunement l'intégrale de delta contre f. Ton terme de droite j'ai du mal a lui donner un sens du coup.
On peut dire que c'est (l'évaluation contre f de) la mutliplication de l'indicatrice de [-epsilon, epsilon] avec delta. On peut mutliplier une distribution par une fonction Cinfini, ici la fonction indicatrice n'est pas Cinfini, mais c'est pas grave, parce qu'elle est sur le support de delta, on peut dont dire que avec \chi une fonction vallant 1 sur [-\epsilon,\epsilon] et qui soit une fonction test.
Dans ce cas et la limite de quand epsilon tend vers 0, vaut bien sur delta.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Merci de ton intérêt
Oui, c'est ça : ma distribution du message #1 est la distribution associé à l'indicatrice de [-epsilon,epsilon] qui est, corrige-moi si je me trompe, localement intégrable ce qui suffit pour définir une distribution régulière.
D'ailleurs, ma distribution peut s'écrire comme somme et différence de distribution de Heaviside centrée en -epsilon et +epsilon, non ?
Ce qui me semble délicat c'est le "multiplication" (ou composition ?) de deux distributions. Ici, ma distribution du message #1 et delta.

[invite47ecce17]

Merci de ton intérêt
Oui, c'est ça : ma distribution du message #1 est la distribution associé à l'indicatrice de [-epsilon,epsilon] qui est, corrige-moi si je me trompe, localement intégrable ce qui suffit pour définir une distribution régulière.

UNe fonction localement intégrable suffit effectivement pour definir une distribution.
La distribution associée a l'indicatrice de [-epsilon, epsilon] associe a une fonction test f l'intégrale de f sur [-epsilon, epsilon]. Ta distribution du premier message est la limite des fonctions indicatrices de [-epsilon, epsilon] quand epsilon tend vers 0, qui est bien entendu nulle (nulle au sens des distributions, car nulle presque partout en tant que fonction).

D'ailleurs, ma distribution peut s'écrire comme somme et différence de distribution de Heaviside centrée en -epsilon et +epsilon, non ?

Oui.

Ce qui me semble délicat c'est le "multiplication" (ou composition ?) de deux distributions. Ici, ma distribution du message #1 et delta.

La multiplication de deux distributions n'est pas définie en general. Il y a des cas ou on peut lui donner un sens (qui se basent sur la transformée de fourier par exemple), ici le sens le plus immédiat que l'on peut donner a tes exemples est celui de mon precedent message.
Tu as donc et , note que la multiplication n'est pas alors continue pour la topologie des distributions.

[coussin]

Tu as donc et , note que la multiplication n'est pas alors continue pour la topologie des distributions.

Ça, ça me plaît
Car ce que j'avais derrière la tête c'était d'obtenir une "non-commutativité" selon que "on applique delta d'abord puis on fait tendre epsilon vers 0 dans l'intégrale" et le contraire (excuse mon langage de "maths par un physicien" )