forme differentielle

[zaskzask]

Bonjour a tous,

2 petites questions:

1) J'ai lu dans un cours (et j'ai compris pourquoi il me semble) que la differentielle exterieure d de la fonction est en fait l'element si on definit la differentielle d'une fonction f comme etant

Mais d'autre part j'ai aussi vu que les sont les elements de base de la base duale. Du coup j'ai un peu de la peine pour relier les deux.

2) Petite question de notation : serait il plus correcte pour une integrale d'ecrire ou ?
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[gg0]

Bonjour.

1) Aucun problème, puisque tu définis bien comme engendré par les , qui sont linéairement indépendants par nature. Simplement et les sont des formes (donc des éléments du dual).

2) Pour une intégrale, on écrira ou, I étant un ensemble, . Ta deuxième notation () est celle d'une primitive quelconque de f; ta deuxième notation () vaut donc xf+Cte, si f est bien un nombre constant quand x varie.

Cordialement.

[zaskzask]

Ah, d'accords, merci

1)En fait, je comprends même pas trop pourquoi on appelle ça des formes différentielles.
Par exemple si dx et dy sont des formes linéaires de la base duale alors w=f(x,y)dx+g(x,y)dy est une forme linéaire non? Pourquoi l'appeler une forme différentielle et pas juste une forme linéaire?

2) En fait, ma deuxième question était poser de manière un peu confuse.

J'aurais plutôt du demander si on note ou ou f représente une fonction dans les 2 expressions.
En fait, aussi bizarre que cela puisse paraître cette question était liée à la question:
si dénote la tirée en arrière (pullback) pourquoi as-ton qui est une notation que j'ai rencontrée dans un polycopié

[zaskzask]

ah désolé en fait il me semble que j'ai la réponse à ma première question: en fait c'est w_(x,y)=f(x,y)dx+g(x,y)dy qui est une forme linéaire non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je réponds seulement à ton 2) (pour le 1, il faudrait que je me replonge dans la théorie, que je n'ai pas fréquentée depuis 40 ans) :
est une notation incomplète si f est une fonction intégrable sur [a;b] (ou [b;a]). en effet, f ne dépend pas de x, donc le dx ne réfère pas à une variable. Pour le confirmer, si tu tapes cette expression à un calculateur formel, il te donnera comme résultat f*(b-a). Normal, f est une constante.
est la notation pour les intégrales telle qu'on la rencontre en fin de lycée et début d'études supérieure. Plus tard, on utilise souvent la notation
qui se généralise, mais ne généralise pas qui permettait de prendre a supérieur à b.
Quant à ton pullback, je ne comprends ni ce que c'est, ni le rapport !

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

ah désolé en fait il me semble que j'ai la réponse à ma première question: en fait c'est w(x,y)=f(x,y)dx+g(x,y)dy qui est une forme linéaire non?

oui si désigne w au point (x,y). Une forme différentielle sur R^2 est la donnée pour tout point (x,y) de R^2 d'une forme linéaire
sur R^2. De la même façon qu'un "champ de vecteurs" est la donnée en chaque point d'un vecteur, une forme différentielle est un "champ
de formes linéaire".

[zaskzask]

Merci 0577

Comme moi je l'ai compris le pullback est une application utilisée lorsqu'on intègre des formes différentielles