zeta et caractérisation des nombres premiers

[acx01b]

Bonjour,

j'aimerais de l'aide pour montrer la chose suivante :

soit une suite strictement croissante de réels positifs, on fixe

on pose :




et on considère le problème de minimisation suivant :



c'est à dire qu'on souhaite trouver des tel que soit la meilleure approximation possible de sur l'axe

je me demande s'il est possible de montrer que les optimaux sont les nombres premiers :

Les doivent être vus comme des générateurs d'un groupe multiplicatif dénombrable, donc isomorphe à , dont les éléments sont des réels strictement positifs. Si les sont premiers dans ce groupe ( ce qui est le cas si aucun n'est le produit de puissances d'autres ), alors on peut écrire :



où les sont sommés par ordre croissant. Cette série est absolument convergente pour
qui dépend de la densité des (il parait logique que soit équivalent à ).

Ensuite, on utilise l'égalité de parseval pour écrire :



avec :



est une fonction de qui a un comportement similaire à la fonction partie entière : c'est le nombre d'éléments de inférieurs ou égaux à .


Si les sont les nombres premiers, on a , devient la fonction zeta de riemann , est la fonction partie entière habituelle, et :



où est une fonction de période 1, qui sur chaque intervalle [n;n+1] va de -1/2 à 1/2 linéairement.

on voit donc que peut-être très petit, c'est à dire qu'il existe des tel que est une très bonne approximation de sur l'axe .

la question est de savoir s'il existe un autre groupe
dont la fonction associée possède un unique pôle en et qui minimise encore plus .


L'égalité de parseval montre que doit être une très bonne approximation de . Si mais qu'on n'a pas l'égalité stricte, cela signifie que les éléments du groupe sont très proches des entiers : ,
et donc qu'il arrive une infinité de fois que soit constante sur un intervalle de largeur supérieure à 1, et il arrive autant de fois que change de valeur sur un intervalle de largeur inférieure à 1, car en moyenne ces intervalles sont de largeur 1.
J'arrive à l'idée qu'en valeur moyenne, on doit avoir quelque chose du genre :



mais comme est périodique et ne dépasse jamais 1/2,
et que dépasse une infinité de fois 1/2, on a en valeur moyenne :



Si c'est vrai, cela est un bon début pour arriver la conclusion voulue, mais ça ne prouve rien car on pondère
par et donc on attache beaucoup plus d'importances aux éléments les plus petits.




Si un tel groupe existe, alors on peut se demander quels sont ses propriétés ainsi que celles de sa fonction zeta associée,

et ensuite on peut se demander quel terme supplémentaire ajouter à pour être sûr d'obtenir les nombres premiers comme minimiseur de .

Enfin, en prenant d'autres fonctions on peut obtenir toute une classe de fonctions dont certaines doivent être fortement similaires à .

Merci de me donner votre avis et des pistes si vous en voyez... !
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