Tableau de variation, transformation d'ecriture

[invited5da176d]

Bonjour,
j'ai un exercice (Licence 1ere année) qui traite des fonctions 2 variables et de la recherche d'extremum.

f(x,y)= (1/x^2)+ (1/y^2) + x^2 + y^2

Je calcule donc les derviées partielles, je trouve donc (-2/x^3)+2x (de meme pour y);
et (x,y)=(1,1) (1,-1)(-1,1)(-1,-1) avec f(x,y)= 4

f(1/2 ; 1/2) > 4 donc ce n'est pas des maximums.

De la, mon professeur nous fait établir un tableau de variation pour la fonction g(x) = (1/x^2) + x^2
avec g'(x) = (-2/x^3)+2x = (2/x^3)(x^4 - 1)
Il considere ensuite f(x,y)=g(x)+g(y)

Pour les variation il utilise donc le signe de (2/x^3) puis celui de (x^4 - 1).

Voila mes questions :

- je comprend bien comment il transforme la dérivée de g(x) pour obtenir les 2 expressions utilisées dans le tableau, mais pourquoi ne pas garder directerment 2x au lieu de (x^4 - 1) ? Comment sais t-on quand il faut transformer une expression ? avez vous les combines ?

- si on s'arrete a cette etape (en bleu), ne peut on pas considerer directement qu'il s'agit donc de minimums en les 4 point avec f(x,y) = 4 ?

Merci de m'aider
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[acx01b]

salut,


- ici c'est un cas particulier où f(x,y) = g(x) + g(y)

- tu as 4 points où le gradient s'annule,

tu sais que ce sont soit des minimum locaux, soit des maximum locaux, soit des points selles (minimum local par rapport à une variable et maximum local par rapport à l'autre, ou bien point selle pour une des variables)

si en les 4 points où le gradient d'un fonction f s'annule, f(x_k,y_k) < f(1/2,1/2) alors ça implique qu'aucun des 4 points n'est un maximum global, rien de plus

- tu factorises par x^4-1 car l'équation x^4-1 = 0 se résout facilement, et parce que l'autre terme ne s'annule pas

EDIT : point selle n'est pas le terme exact je ne retrouve plus comment on appelle les autres types de points où la dérivée s'annule, comme x^3 en 0

[invited5da176d]

Merci beaucoup .

Je voit ce que tu veux dire pour les point selle, c'est comme pour les fonction en "selle de cheval", on m'as appris que ce terme a la fac.