norme Lp

[invite34b13e1b]

Bonjour,
Je cherche à démontrer que pour une fonction f de Lp, implique f=0 presque partout.

Mon (tout petit) essai de démonstration, c'est en gros de couper l'intégrale :

Et ensuite de démontrer le résultat par densité:
- d'abord pour des fonctions étagées, implique directement
- Pour f quelconque de Lp, je sais qu'il existe une suite de fonctions croissantes positives étagées telle que mu presque surement. Par Beppo Levi,

Mais après je ne sais pas trop comment avancer.

Que pensez-vous de ce début de démonstration ? Et pouvez vous m'aider à conclure, ou proposer une méthode plus jolie/rapide

Merci !
-----

[invite34b13e1b]

mouai en relisant la definition de Lp, j'ai compris que mon implication vient de la definition de Lp en tant que quotient.
Désolé pour ce post

[invite34b13e1b]

... désolé je confonds vraiment tout ce soir. J'ai bien l'impression que la question se pose, et que cette histoire de quotient ne résoud rien. Je dois avouer que je suis pas mal dans le flou

[Seirios]

Bonsoir,

Ce que tu cherches à montrer est que est bien une norme sur : la seule propriété non triviale est que implique dans , ce qui revient à dire que presque partout. Tu remarqueras qu'il y a ici un abus de notation : on note pour la fonction et pour l'élément de correspondant.

En posant , on a , donc , ce qui revient à dire que est nulle presque partout.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34b13e1b]

Merci beaucoup !
tout s'éclaire

[Seirios]

En posant , ...

Il faut bien sûr lire .