intégrale sur les rationnels / suite de Farey

[acx01b]

bonjour,

c'est en lien avec la suite de Farey d'ordre Q : c'est la suite croissante des fractions de dénominateur inférieur ou égal à

si on a une intégrale :

avec continue par morceaux et ,

alors j'ai l'impression qu"on peut écrire :



étant la différence entre et la plus grande fraction inférieure à dont le dénominateur soit inférieur ou égal à


Donc si on a

Mais à la place de on pourrait très bien prendre
, la somme convergerait toujours vers l'intégrale



on a une idée de si pour Q très grand, ce type de mesure discrète devient équivalente à une fonction simple ne dépendant donc que de ?

Merci !
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[acx01b]

Asymptotic distribution of the distance function to the
Farey points

It is well known that the elements of the Farey sequence Fn are uniformly distributed
asymptotically, when n ! 1, and this has important consequences in number theory: for
example, the Riemann hypothesis can be formulated in terms of the rate of convergence
of Fn to the uniform distribution

donc ça voudrait dire que où est (l'indicatrice d'euler) le nombre d'entiers inférieurs à q et premiers avec q

qui a sûrement elle même un développement asymptotique..?