Suite par integrale

invite1c650f1c · 08/06/2011, 00h23

Salut tout le monde,

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

Montrer que $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Il y en a plusieurs de questions avant celle la, mais je ne trouve aucun rapport avec la question. Aidez moi SVP

. Merci d'avance.

**Tiky** · 08/06/2011, 01h00

Bonsoir,

Il serait peut-être bien de donner ces questions...

invite1c650f1c · 08/06/2011, 13h47

L'exercice complet :

$\forall n \in \mathbb{N}$ , on pose $u_n = \int\limits_0^1 {x^n \sqrt {1 - x^2 } } dx$

1)- Montrer que : $\text{[math]}$ , puis en déduire la limite de $\text{[math]}$

2)- En utilisant l’intégration par partie, montrer que $\text{[math]}$

3)- $\forall x \in \mathbb{R}$ , on pose : $F\left( x \right) = \int\limits_0^{\cos x} {\sqrt {1 - t^2 } } dt$

A- Quelque soit x dans R, F est dérivable sur R. Trouver F'(x) quelque soit x dans R.
B- En déduire l'expression de la fonction F sur $\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ , puis trouver la valeur de l’intégrale $u_0$ .

4)

A- Montrer que : $\text{[math]}$ , puis calculer $\text{[math]}$ .

B- Montrer que : $\text{[math]}$ $u_n \times u_{n + 1} = \frac{\pi }{{2\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}$

C- Montrer que : $\text{[math]}$

**Tiky** · 08/06/2011, 15h50

Bonjour,

Les questions précédentes étaient bien utiles. L'idée est de faire une sorte de démonstration par récurrence.

Montre que la propriété est vraie pour les deux couples $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ puis en utilisant la question 2, tu démontres que si elle est vraie pour $\text{[math]}$ alors elle est vraie pour $\text{[math]}$ .

Pour les initialisations, fais un calcul d'intégral brutal, par exemple avec un changement de variable pour la première et une ipp pour la seconde.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tiky** · 08/06/2011, 15h58

Je voulais dire plutôt un changement de variable pour la première et une ipp pour la seconde.

invite1c650f1c · 09/06/2011, 08h03

Wow merci, j'ai pu répondre à la question, maintenant je dois calculer la dernière limite

${\lim }\limits_{n \to + \infty } n\sqrt n \times u_n = \sqrt {\frac{\pi }{2}}$

il y a un pi/2, donc à mon avis je dois utiliser la question qu'on vient de démontrer ?! Mais comment ?

**Tiky** · 09/06/2011, 10h14

Oui tu dois utiliser la question précédente.
La question A te dit que $\text{[math]}$ équivaut à $\text{[math]}$ . Qu'est-ce que tu peux en déduire à partir de la question B ?

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