Limite d'une suite monotone de parties d'un ensemble

[invite97a526b6]

Bonjour
Voici mes questions:

Considérons, dans les parties P(E) d'un ensemble E, une suite (A_n) décroissante de sous-ensembles A_n contenus dans E.
Peut-on dire qu'il existe toujours une limite A contenue dans E ? Oui d'après des cours, mais sans justification aucune...
Même question avec une suite (B_n) croissante dans E, la limite B existe-t-elle ?
Pour moi l'existence d'une limite n'est pas évidente, contrairement aux suites monotones numériques bornées pour lesquelles d'ailleurs il y a une démonstration.
Les termes "décroissante" et "croissante" sont, évidemment, relatifs à la relation d'ordre de l'inclusion.

Autre question:
Supposons maintenant que E soit un ouvert contenu dans un espace topologique, dans ce cas la limite de ces suites monotones de E peuvent-elles ne pas être dans E, mais dans adh (E) ? (sans faire aucune supposition sur les termes de la suite, c'est à dire certains termes peuvent être ouverts et d'autres fermés)

Merci pour les éclaircissements sur ce sujet.
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[invite179e6258]

on peut toujours dire que l'intersection des élements de la suite est par définition sa limite, et ensuite chercher s'il existe une topologie sur P(E) pour laquelle c'est bien une limite.

[invite97a526b6]

on peut toujours dire que l'intersection des élements de la suite est par définition sa limite, et ensuite chercher s'il existe une topologie sur P(E) pour laquelle c'est bien une limite.

Oui, on peut prendre pour définition de la limite l'intersection des termes de la suite parce qu'elle est décroissante et dans ce cas on affirme que la limite existe (donc unique), mais on ne démontre pas qu'elle existe !

Pour une suite non monotone on n'a la notion de lim sup et de lim min. C'est à propos des définitions des lim sup et de lim min mettant en jeux les intersections de réunions et le réunions d'intersections que repose ces questions

[VirGuke]

A priori pour la suite décroissante tu peux toujours construire et vérifier que c'est bien ce qu'on peut appeler la limite ie c'est le plus grand ensemble au sens de l'inclusion qui soit inclus dans tous les An.

Pour la suite croissante tu peux faire pareil avec E et il existe et vérifier que c'est le plus petit ensemble au sens de l'inclusion contenant les autres.

En ce qui concerne la topologie, clairement les suites décroissantes sont incluses strictement dans E, pour les suites croissantes j'aurai tendance à dire que c'est le cas aussi mais je ne mettrai pas ma main à couper sans vérifier ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour FANFAN.

Comment définis-tu la limite d'une suite de parties ?
Car si tu n'as pas de définition, tes questions n'ont pas de sens.

Cordialement.

NB : Dans ton cas, les suites sont bornées par E et , contrairement à ce que tu sembles dire

[invite97a526b6]

Bonjour FANFAN.

Comment définis-tu la limite d'une suite de parties ?
Car si tu n'as pas de définition, tes questions n'ont pas de sens.

Cordialement.

NB : Dans ton cas, les suites sont bornées par E et , contrairement à ce que tu sembles dire

- Je définis la limite d'une suite de parties décroissante comme l'intersection des termes de la suite. Question: cette intersection infinie existe-t-elle toujours ? Dans les cours la réponse est oui comme si c'était évident.
- Je définis la limite d'une suite de parties croissante comme la réunion des termes de la suite. Question: cette réunion infinie existe-t-elle toujours ? Dans les cours la réponse est oui comme si c'était évident.
- Pour une suite quelconque, je définis deux limites:
limsup A_n = INT_nREU_m>n A_m
liminf A_n = REU_nINT_m>n A_m
Si ces deux limites coïncident alors par définition la suite (A_n) est convergente.
Pareillement, il est donné comme évident que ces deux limites existent toujours, et on ne le démontre jamais.

Une autre définition de la limite d'une suite d'ensembles:
(A_n) a pour limite A <=>_df QQS x € A, il existe n₁, QQS n > n₁, x € A_n et QQS y €pas A, il existe n₂, QQS n > n₂, y €pas A_n

Une autre définition des limsup et liminf d'une suite d'ensembles:
x € limsupA_n <=> {n, x € A_n} est infini
x € liminf A_n <=> {n, x €pas A_n} est fini

Ces définitions sont considérées comme équivalentes, mais à démontrer...

[invite97a526b6]

A priori pour la suite décroissante tu peux toujours construire et vérifier que c'est bien ce qu'on peut appeler la limite ie c'est le plus grand ensemble au sens de l'inclusion qui soit inclus dans tous les An.

Pour la suite croissante tu peux faire pareil avec E et il existe et vérifier que c'est le plus petit ensemble au sens de l'inclusion contenant les autres.

En ce qui concerne la topologie, clairement les suites décroissantes sont incluses strictement dans E, pour les suites croissantes j'aurai tendance à dire que c'est le cas aussi mais je ne mettrai pas ma main à couper sans vérifier ^^

Je pense que tu as mis décroissante pour croissante et inversement.

[gg0]

Je définis la limite d'une suite de parties décroissante comme l'intersection des termes de la suite. Question: cette intersection infinie existe-t-elle toujours ? Dans les cours la réponse est oui comme si c'était évident.

Ben ... c'est évident. A ton niveau.
L'intersection d'une famille d'ensemble est l'ensemble des éléments qui sont dans tous les ensembles de la famille.

A un autre niveau (théorie des ensembles basée sur une axiomatique précise), ce peut être une question à prouver, mais à part de rares spécialistes, tous les matheux utilisent une théorie intuitive des ensembles.

Dans ton cas, l'intersection est l'ensemble des éléments de A qui sont dans tous les A_n. Il n'y a aucun problème. Un élément de A est dans l'intersection s'il est dans tous les A_n. Même chose pour l'union.

D'une certaine façon, les limites de nombres sont plus problématiques (d'ailleurs, il faut se placer dans R pour qu'une suite croissante majorée ait une limite. C'est même une façon de définir les réels à partir des rationnels).

Cordialement.

[invite179e6258]

- Pour une suite quelconque, je définis deux limites:
limsup A_n = INT_nREU_m>n A_m
liminf A_n = REU_nINT_m>n A_m
Si ces deux limites coïncident alors par définition la suite (A_n) est convergente.
Pareillement, il est donné comme évident que ces deux limites existent toujours, et on ne le démontre jamais.

avec ces définitions tu es ramené au cas précédent (de suites croissantes ou décroissantes). La question qui se pose est de savoir si l'intersection ou la réunion (on passe facilement de l'une à l'autre) d'un ensemble dénombrable (en fait quelconque) d'ensembles existe ou non. Il me semble que c'est un axiome dans la théorie de Gödel-Bernays-von Neumann et aussi dans celle de Zermelo-Fränckel (Médiat pourra confirmer (ou infirmer), c'est lui le spécialiste ici).

[Médiat]

Bonjour,

L'axiome de l'union dans ZF n'est pas un axiome précisant que l'union de 2 ensembles est un ensemble, mais que l'union des éléments d'un ensemble (même infini, même non dénombrable) est un ensemble.

[acx01b]

je suis curieux j'aimerais comprendre

pour moi la définition naïve d'une limite d'une intersection d'une suite d'ensembles ça serait :

si :




et je n'ai pas bien compris par quoi vous remplacez le , ou si vous le gardez ?

et la suite où c'est les irrationnels entre 0 et 1, et , son intersection peut converger vers pour certaines suites , ou non ?

[Médiat]

pour moi la définition naïve d'une limite d'une intersection d'une suite d'ensembles ça serait :

si :

En tout état de cause, c'est effectivement "naïf" et non formel, mais vos deux formules sont contradictoires, prenez et , alors vous avez, à la fois et .

A minima il faut retirer le et

[acx01b]

oui oui je viens de comprendre, désolé, c'est évidemment qui indique que appartiendra à l'intersection de tous les ensembles et donc à la limite (si elle existe)

mais l'autre condition :
elle dit que pour affirmer que x n'appartient pas à E (la limite) il faut connaitre un rang fini n tel que x n'appartient pas au n-ième ensemble de la suite,
et donc dans l'exemple que j'ai donné où on enlève un par un les éléments de l'ensemble des irrationnels entre ]0,1[
la limite (si elle existe) sera forcément l'ensemble des irrationnels entre ]0,1[ moins un ensemble dénombrable.

D'où ma question : y a-t-il a d'autres façon de définir la limite d'une suite d'ensemble qui soit plus élaborée et qui permette de dire que si on enlève les éléments d'un ensemble un par un "sans en oublier", alors la limite sera l'ensemble vide, que l'ensemble de départ soit dénombrable ou non ?

[Médiat]

Bonjour,

Si vous prenez

[VirGuke]

- Je définis la limite d'une suite de parties décroissante comme l'intersection des termes de la suite. Question: cette intersection infinie existe-t-elle toujours ? Dans les cours la réponse est oui comme si c'était évident.

J'ai l'impression que tu cherches à répondre à une question qui n'existe pas ^^

Comme le fait remarquer gg0 il n'y a pas de définition usuelle de limite si tu ne définis pas une norme, du coup la question de l'éventuelle existence de l'intersection infinie n'a pas de sens.

La définition de l'intersection infinie ce n'est pas la limite de l'intersection des n ensembles, c'est l'ensemble des élément de E qui sont dans tous les An et l'existence de cet ensemble est évidente. Après par habitude on l'assimile à une limite comme dans le cas des suites numériques et dans le cas d'une intersection décroissante c'est un peu comme la limite des An.D'ailleurs l'objectif des liminf et limsup que tu définis après c'est bien de donner une définition de convergence pour les ensembles qui colle avec notre intuition de la chose.

[invite97a526b6]

Merci à tous les intervenants pour leur réponses pertinentes qui m'éclairent sur ce sujet.
Pouvons-nous appliquer ces notions de limites ensemblistes aussi aux limites des suites numériques dans R en faisant la bijection:
x_n € R <-> {x € R : x <ou= x_n} ?

[gg0]

Je ne vois pas de contre indication, mais est-ce vraiment utile ? la notion de limite dans est topologique (liée à une notion de proximité, de distance entre nombre).
On utilise cette extension de la notion de limite aux suites monotones d'ensembles surtout parce que ça permet des passages immédiats des ensembles à leurs mesures. Une fois qu'on a acquis la notion, on peut passer à autre chose ...

Cordialement.

NB : les limites de réels ne nécessitent pas la croissance ou la décroissance de la suite.