Inegalités et limites

[inviteaf7e4316]

Bonsoir,

2 propositions sont vraies parmi celles présentées ci-dessous.
Mais je ne sais pas pourquoi tous me paraissent vraies !! :S




J'aurais besoin de votre aide svp!
Merci d'avance!
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[PlaneteF]

Bonjour,

Mais je ne sais pas pourquoi tous me paraissent vraies !! :S

Ben si ces propositions te "paraissent vraies" comme tu le dis, tu dois alors pouvoir les justifier par un théorème, un raisonnement.

Ainsi pour commencer prenons la proposition A que tu penses vraie ; quelle est alors ta justification ?!


Cordialement

[PlaneteF]

Sinon, c'est moi ou les propositions C et E sont les mêmes

[inviteaf7e4316]

Bonjour, d'accord voila pourquoi je pense que la A est correcte:

Si pour tout réel x, f(x) < x alors:

lim(x→0+) f(x) < lim(x→0+) x
lim(x→0+) f(x) < 0



En effet, C et E c'est la même proposition! oublions donc la E!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

Si pour tout réel x, f(x) < x alors:

lim(x→0+) f(x) < lim(x→0+) x

Quel théorème permet de justifier ce "alors" ?

[acx01b]

jojo ton raisonnement est incomplet,

considères la fonction

si

sinon

on a

[inviteaf7e4316]

Ahh je viens de trouver sur internet que le théorème de comparaison de limite ne s'applique pas pour les inégalités strictes



Donc je peux écrire que:
lim(x→0+) f(x) ≤ lim(x→0+) x
lim(x→0+) f(x) ≤ 0

Donc la proposition A est fausse parce qu’il y a inégalité stricte et pas large (o.O)?

[PlaneteF]

Bonjour,

La pièce jointe à ton précédent message n'est pas encore validée, donc je ne sais pas ce qu'il y a dedans, mais en attendant, quand tu dis ceci :

Donc la proposition A est fausse parce qu’il y a inégalité stricte et pas large (o.O)?

... tu fais une erreur de raisonnement : en effet attention, une inégalité au sens strict implique la même inégalité au sens large, par contre la réciproque est fausse !

Donc ta justification est fausse !


Cdt

[inviteaf7e4316]

En effet, la réciproque est fausse !!

J'avais dit que la proposition A est fausse puisque lim(x→0+) f(x) peut être égale à 0, et que l’inégalité stricte doit être remplacée par l’inégalité large!

Je ne comprends pas où est l'erreur dans cette justification?!

[PlaneteF]

Je ne comprends pas où est l'erreur dans cette justification?!

Je te le reformule plutôt comme ceci :

Tu ne peux pas justifier qu'une inégalité au sens strict est fausse par le simple fait que l'inégalité au sens large est vraie ...
... ou ce qui revient exactement au même, une inégalité vraie au sens large n’entraîne pas une inégalité fausse au sens strict.

Donc ta justification n'est pas correcte.

Cdt

[inviteaf7e4316]

une inégalité vraie au sens large n’entraîne pas une inégalité fausse au sens strict

Mais!
Si l'on a: lim(x→+∞) (1/x) ≥ 0 (en fait c'est égal à 0)
Cela ne veut pas dire que lim(x→+∞) (1/x) > 0

[PlaneteF]

Si l'on a: lim(x→+∞) (1/x) ≥ 0 (en fait c'est égal à 0)
Cela ne veut pas dire que lim(x→+∞) (1/x) > 0

Oui, ...et alors ??!

[gg0]

En fait, Jojo, c'est l'implication qui est fausse. Et comme la fonction f n'est pas précisée (il manque sans doute un "quelle que soit la fonction f .."), un contre exemple sera une vraie preuve. Ce que n'est pas une "explication".

Cordialement.

[inviteaf7e4316]

Ah, je vois!

Une idée de contre-exemple ?

[PlaneteF]

Juste une précision sur l'identification de l'erreur de raisonnement que tu as faite :

... tu fais une erreur de raisonnement : en effet attention, une inégalité au sens strict implique la même inégalité au sens large, par contre la réciproque est fausse !

Donc ta justification est fausse !

Cà c'est bien une erreur de raisonnement, mais ce n'est pas celle que tu as faite.

Par contre :

Je te le reformule plutôt comme ceci :

Tu ne peux pas justifier qu'une inégalité au sens strict est fausse par le simple fait que l'inégalité au sens large est vraie ...
... ou ce qui revient exactement au même, une inégalité vraie au sens large n’entraîne pas une inégalité fausse au sens strict.

Donc ta justification n'est pas correcte.

... celle-là, c'est bien celle que tu as faite.


Cdt

[inviteaf7e4316]

f(x) =
x-2........si x<0
-x........si x ≥ 0

lim(x→0+) = 0

=> Contre-exemple => d’où la proposition A est fausse !

Est-il valide ?

[PlaneteF]

f(x) =
x-2........si x<0
-x........si x ≥ 0

lim(x→0+) = 0

=> Contre-exemple => d’où la proposition A est fausse !

Est-il valide ?

Non, ton contre-exemple n'est pas correct pour 2 raisons :

1) La fonction f que tu proposes n'est pas croissante sur R.

2) Elle ne vérifie pas f(x)<x pour x=0


Cdt

[inviteaf7e4316]

Ah je comprends donc que Inégalité stricte => Inégalité large mais inégalité large peut ou pas impliquer l’inégalité stricte.
On ne peut pas donc prouver que l’inégalité stricte est fausse juste à partir de l’inégalité large!!

[inviteaf7e4316]

Ohhh zut, vraiment aucune idée de contre-exemple! :/

[PlaneteF]

On ne peut pas donc prouver que l’inégalité stricte est fausse juste à partir de l’inégalité large!!

Une illustration toute simple :

ne contredit pas

( apporterait une contradiction s'il y avait égalité pour au moins une valeur de , or ce n'est jamais le cas)

[inviteaf7e4316]

Exactement!! l’inégalité stricte peut être vraie OU fausse!

[PlaneteF]

Ohhh zut, vraiment aucune idée de contre-exemple! :/

Réajuste ton contre-exemple en prenant en compte les 2 points du message#17.

[inviteaf7e4316]

f(x) =
x-2........si x ≤ 0
ln(x+1)........si x > 0

lim(x→0+) = ln(1) = 0

Et maintenant ?

[PlaneteF]

f(x) =
x-2........si x ≤ 0
ln(x+1)........si x > 0

lim(x→0+) = ln(1) = 0

Oui, ... ou plus simplement pour

[inviteaf7e4316]

Ahh lol bcp plus simple avec f(x)=0


Pour la proposition B, elle est vraie d’après le théorème de majoration ?

[PlaneteF]

Oui, oui, ...

[inviteaf7e4316]

Pour C:
f(x) =
0........si x ≤ 1
1-1/x........si x > 1

lim(x→0+) f(x) = 1 donc C est fausse?

[PlaneteF]

Pour C:
f(x) =
0........si x ≤ 1
1-1/x........si x > 1

lim(x→0+) f(x) = 1 donc C est fausse?

Oui, oui, ...

[inviteaf7e4316]

J'en déduis finalement que les propositions B et D sont vraies !!

Merci infiniment PlaneteF