Espace Vectoriel - Contre exemple

[invite947bdf2f]

Bonjour à tous !

Encore une fois, j'ai quelques petits soucis sur un exercice à propos des espaces vectoriels. Avant de vous expliquer ou je coince, voici l'énonce :

Sachant que , démontrer que , V, + muni des lois usuelles n'est pas un espace vectoriel.

Tout d'abord, j'ai commencé à vérifier que c'est bien un groupe. Sur ce point la, j'ai pas eu vraiment de soucis, selon moi cet ensemble respecte toute les conditions

1. La loi + est interne dans V
2. + est associative dans V
3. Il existe un neutre pour + dans V
4. + est symétrisable dans V

Cependant, j'ai eu une petite hésitation sur le fait que c'était bien interne mais après avoir cherché j'ai pas su démontrer que ça ne l'était pas

Autre point, le groupe est (pour moi) bien commutatif.

C'est la que ça se corse car quand j'essaye de démontrer, je ne trouve aucun problème à démontrer les cinq axiomes pour être un espace vectoriel et pourtant il y en a forcément un qui ne tient pas la route comme on me demande de prouver que ça n'en est pas un . Je suppose il y a une subtilité avec le mais je ne la vois pas

Si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie sans forcément me lâcher la réponse, ça m'aiderait vraiment !

Bonne soirée!
Nico
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas trop compris ce que tu disais : "démontrer que , V, + muni des lois usuelles n'est pas un espace vectoriel."
S'il s'agit de montrer que (Vn +, x) n'est pas un R-espace vectoriel, il te suffit de voir que la loi x n'est pas une loi externe correcte (multiplie par racine de 2).

Cordialement.

[Médiat]

Je n'ai pas trop compris ce que tu disais : "démontrer que , V, + muni des lois usuelles n'est pas un espace vectoriel.

Moi non plus.

S'il s'agit de montrer que (Vn +, x) n'est pas un R-espace vectoriel, il te suffit de voir que la loi x n'est pas une loi externe correcte (multiplie par racine de 2)

Mauvais exemple : avec , cela marche très bien, mais pas avec .

[invite947bdf2f]

Bonjour.

Je n'ai pas trop compris ce que tu disais : "démontrer que , V, + muni des lois usuelles n'est pas un espace vectoriel."
S'il s'agit de montrer que (Vn +, x) n'est pas un R-espace vectoriel, il te suffit de voir que la loi x n'est pas une loi externe correcte (multiplie par racine de 2).

Cordialement.

Je voulais dire espace vectoriel réel, donc oui R-espace vectoriel ! (Abus de langage, désolé :/ )
Par "loi externe correcte" tu veux dire la loi de multiplication par un scalaire ?

Sinon je comprends pas trop pour . Je vois pas en quoi le multiplier par cette valeur rendrait ma loi non-interne (Ni par d'ailleurs..

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

multipliez un élément non nul de votre ensemble par , et concluez

[gg0]

Effectivement, Médiat,

j'ai proposé un mauvais multiplicateur. J'aurais dû rester sur ma première idée : Pi.

Cordialement.

[invite947bdf2f]

Je vous avoue que j'ai un peu de mal, surement une erreur conceptuelle ou que sais-je

En prenant un vecteur :


Et en le multipliant par , j'obtiens :



Mais voila, comme conclusion je me dis "Je ne sais pas retrouver ce vecteur sur base de la définition de V (Qui m'impose que ". Cette "conclusion" est juste ? Juste dans le concept, bien que j'avoue que c'est pas très matheux

Et rien n'a faire, je vois pas en quoi la multiplication par fonctionnerait :/
Désolé d'insister avec ma question, mais j'dois zapper un truc :/

[Médiat]

Et rien n'a faire, je vois pas en quoi la multiplication par fonctionnerait :/

Comme gg0 et moi vous l'avons dit, la multiplication par ne sert à rien ; par contre on peut simplifier votre exemple, , or ou

[invite947bdf2f]

Comme gg0 et moi vous l'avons dit, la multiplication par ne sert à rien ; par contre on peut simplifier votre exemple, , or ou

Un grand merci à vous, ainsi qu'a gg0 ! Tout me semble clair maintenant