Inéquation avec des sinus

[PetiteAnne]

Salut,

Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer pour l'inéquation suivante ?

4 sin²(x/2) > ou = sin (x)

Disons qu'une fois que j'écris ensuite :

-0,5(sin(x))^(1/2) <ou= sin(x/2) <ou= 0,5(sin(x))^(1/2)

je coince ...

Quelqu'un pourrait-il m'aider, s'il vous plaît ?
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[jamo]

bonjour
à essayer sin(x)= 2sin(x/2)cos(x/2)

[topmath]

Bonjour après l'indication de jamo , il est utile d'utiliser aussi (*) afin d'écrire le en fonction de en fonction à partir de (*) , puits élever les deux membres de l’inéquation aux carrée ;

Cordialement

[PA5CAL]

Bonjour

Partir bille en tête sur une expression avec des racines carrées est une bien mauvaise idée. Comme dans tout exercice, il faut se donner un moment de réflexion avant de faire n'importe quoi.

La fonction sinus étant périodique, la première question pourrait être de savoir quelle est cette périodicité dans les termes de l'inéquation de départ. L'élévation au carré du sinus double la fréquence. Mais on constate qu'ici ladite fréquence fait justement la moitié de celle de l'autre terme. L'inéquation est par conséquent 2π-périodique.

Par ailleurs, il faut se rappeler que le carré d'une fonction sinusoïdale est également une fonction sinusoïdale.

L'inéquation consiste donc en une comparaison entre deux fonctions sinusoïdale de même période, leurs différences se situant seulement au niveau de l'amplitude et de la phase.

La combinaison linéaire de deux fonctions sinusoïdale de même période donnant également une fonction sinusoïdale présentant cette période, on en déduit que l'inéquation peut s'écrire sous la forme :

A·sin(x+α) ≥ 0

Il ne reste plus qu'à trouver α et le signe de A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

Oups...

Il faut lire :

A·(sin(x+α)+c) ≥ 0

Il ne reste plus qu'à trouver α, c et le signe de A.

[PetiteAnne]

Merci pour toutes vos réponses

Je crois que le plus simple, c'est en effet d'utiliser la formule trigonométrique que jamo a écrite.
Ça permet de simplifier les sinus (où on doit alors prendre x/2 différent de k.pi où appartient à Z).

Reste alors : 2 sin (x/2) > ou = cos (x/2)

d'où x appartient à [pi/4 +2k.pi, pi+2k.pi[ , non ?

[PA5CAL]

Non.

La méthode est bonne à suivre, mais elle n'est pas menée correctement.

En effet, la simplification par sin(x/2) entraîne une multiplication des cas à considérer et des solutions possibles. (Que dire si sin(x/2)>0, si sin(x/2)=0 ou si sin(x/2)<0 ?)

De plus, le cas où 2·sin(x/2) ≥ cos(x/2) ne permet certainement pas de trouver la réponse que tu as donnée.

[ansset]

la suggestion initiale de Jamo me semble la plus intuitive et efficace
4sin²(x/2)>=sin(x)= 2sin(x/2)cos(x/2)
soit
4sin²(y)>=2sin(y)cos(y)
2sin²(y)>=sin(y)cos(y) ( avec y=x/2 )
on voit immédiatement que c'est faux si sin(y) et cos (y) sont de signes opposés.
soit y ds ]pi/2;pi[ ou y ds ]3pi/2;2pi[
soit x ds ]pi;2pi[
on est restreint à x ds ]0;pi[
l'équation devient alors
tg(y)>=1/2 , je te laisse finir ( ne pas oublier que y=2x à la fin )
cordialement

[ansset]

correction c'est >= donc valable sur [0,2pi] désolé grrrrrr !
on peut diviser par sin(y) en gardant 0 et pi comme solution immédiate pour x

[ansset]

ainsi que pour tout x ds [pi;2]

[ansset]

je récapitule mes mess confus et mal écrits ( voir écris à l'envers par endroits )
x ds [pi,2pi] satisfait l'inéquation car sin(x)<=0 et que le premier terme est >=0
reste à regarder x ds ]0,pi[
on a bien
2sin(x/2)>=cos(x/2)
soit tan(x/2)>=1/2
soit tan(y)>=1/2 pour y=x/2, avec y ds ]0,pi/2[
on déduit l'intervalle de y donc celui de x

[PA5CAL]

On simplifie l'inéquation :

 Cliquez pour afficher

4·sin²(x/2) ≥ sin(x)

⇔ 2·(1–cos(x)) ≥ sin(x)

⇔ 2–2·cos(x)–sin(x) ≥ 0
[ NB: on reconnaît dans les 2ème et 3ème termes le développement du sinus d'une somme, d'amplitude √(2²+1²) = √5. ]

⇔ (2/√5)–(2/√5)·cos(x)–(1/√5)·sin(x) ≥ 0

⇔ (2/√5)–sin(x+α) ≥ 0 avec sin(α) = 2/√5 et cos(α) = 1/√5

⇔ sin(α) ≥ sin(x+α) avec α = arcsin(2/√5)

[ NB: α ≈ 1,107149 rad ]

On trouve les bornes des intervalles de solutions :

 Cliquez pour afficher

S'agissant de fonctions continues, il suffit de trouver les cas d'égalité :

sin(α) = sin(x+α)

⇔ ( α = x+α+2·k·π avec k∈ℤ ) ou ( π–α = x+α+2·k·π avec k∈ℤ )

⇔ ( x = 2·k·π avec k∈ℤ ) ou ( x = π–2·α+2·k·π avec k∈ℤ )

On vérifie la validité de l'inégalité selon les intervalles trouvés :

 Cliquez pour afficher

On note que l'inégalité est fausse quand x est compris entre les premières valeurs (2·k·π) et les secondes (π–2·α+2·k·π), et elle est vraie quand x est compris entre les secondes et les premières, ces valeurs incluses.

On conclut :

 Cliquez pour afficher

4·sin²(x/2) ≥ sin(x)

⇔ x ∈ [π–2·arcsin(2/√5)+2·k·π, 2·π+2·k·π] avec k∈ℤ

[ NB: π–2·arcsin(2/√5) = π–2·arccos(1/√5) = 2·arctan(1/2) ≈ 0,927295 rad ]

[ansset]

OK, même résultat,
il faut que je retrouve le moyen de cacher certaines réponses.

cordialement