Algebre Linéaire (Determination de Bases)

[invitec5d4310d]

Bonjour, je suis actuellement en Licence 2 de Physique et bloque sur quelques points d'algèbre.
Comme par exemple, la détermination d'une base d'un espace vectoriel.

Je voulais savoir si globalement il existait une méthode à appliquer relativement intuitive, et quels cas disjoints devraient être traités séparément.

J'ai par exemple lu que pour déterminer une base d'un e.v, on ne s'y prendra pas pareil selon si l'e.v est lui-même engendré par
1-une famille de vecteurs ou
2-un système d'équations linéaires.

Merci d'avance de votre aide dans cette matière.
bien cordialement,
SuprAlgebra.
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[gg0]

Bonjour.

Il y a souvent des idées assez intuitives sur la détermination de bases, mais qui dépendent tellement du contexte qu'il ne faut chercher, comme tu le fais, de règle générale. On a le droit d'utiliser son intelligence, en maths. Donc étudie l'algèbre linéaire, et au fur et à mesure, tu te construiras des habitudes et des intuitions.

Cordialement.

Nb : dans tes deux sujets tu te comportes un peu comme un élève se quatrième qui dirait "alors, pour résoudre des équations, on passe toujours tous les x du même coté" alors qu'il n'a encore étudié qu'un cas très particulier. Inutile de chercher des généralisations quand on commence.

[invitec5d4310d]

Merci de votre réponse,
Simplement, j'ai trouvé un exemple dont j'aimerais connaître la finalité :

On dispose d'un espace vectoriel E qui représente l'ensemble des polynômes à coefficients a_i dans R.
E {P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² ... a_nxⁿ}.

Une question classique serait : En déterminer une base ?
Par où dois-je commencer ? Je veux dire, dans mon mode de pensée.
Que dois-je remarquer, me dire dans ma tête pour m'aiguiller vers la solution propre à ce problème ?

Merci encore,
Cordialement

[gg0]

J'imagine qu'il s'agit des polynômes de degré au plus n. Qui forment (exercice facile) un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel des polynômes (ou de celui des applications de R dans R).

Tu cherches des polynômes tels qu'un P(x) de E s'exprime de façon unique comme combinaison linéaire de ces polynômes (*) : ça tombe bien ils sont déjà presque tous présents (il y en a un seul un peu caché).

Cordialement.

(*) "unique" = partie libre ; "comme combinaison linéaire" = partie génératrice

NB : Une façon classique est de ramener l'expression d'un élément à quelques coefficients indépendants, et regarder ce qu'ils multiplient. Le nombre de ces coefficients est la dimension de l'espace vectoriel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec5d4310d]

Merci,
Je dirais par intuition que l'ensemble E {P(x) = a_ox^o + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a_nxⁿ}. s'écrit comme une combinaison linéaire soit :

P(x) = SOMME(i --->n) [a_ixⁱ.
Donc la famille est bien génératrice.

Or, puisque pour avoir P(x) = 0 il faut impérativement que tous les coefficients a_i soient égaux à 0.
elle est donc libre par définition.

Donc la famille (1,1,1,1,1,1...) serait une base de cardinal n et E aurait une dimension finie égale à n.

Est-ce correct ?
Merci,
Bien Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

"Donc la famille est bien génératrice." Quelle famille ?
"s'écrit comme une combinaison linéaire " de quoi ?

Toujours ce manque de précision qui fait que tu ne comprends pas vraiment de quoi tu parles. Ce qui aboutit au catastrophique :
"Donc la famille (1,1,1,1,1,1...) serait une base"
Il est facile de faire des combinaisons linéaires des n 1 qui soit nulles sans que tous les coefficients soient nuls : 1*1+(-1*1)+0*1+0*1+...+0*1 =0
Tu n'as pas vraiment réfléchi à ce qu'est une partie (ou famille) libre. Sinon, il te serait évident que deux éléments d'une partie libre sont différents, et même non proportionnels. Que dès que des éléments sont liés, toute famille qui les contient est liée, etc.
Pire ! tu as oublié de quoi tu parlais, de quoi est composé ton espace vectoriel, quels sont ses éléments. Une base (partie libre, partie génératrice, ..) est toujours composée avec des vecteurs (des éléments de l'espace vectoriel.

Donc un bon conseil : revois les notions de sous-espace vectoriel, de partie libre et de partie génératrice. Pour l'instant, tu vas plus vite que la musique, tu parles sans comprendre.

Cordialement.

[invitec5d4310d]

Bonjour,
Je ne comprend que peu les notions, mais je suis de ceux qui y parviennent mieux en essayant de le faire.
Ainsi je crois comprendre mon erreur,

La base serait plutôt (1,x,x²,x³) ou bien (a₀ , a₁, a₂...)

Mais quoi qu'il arrive, la dimension de cet espace vectoriel est bien égale à n. Non ?
Cordialement,

[invitec5d4310d]

Il faut que les vecteurs de la base s'expriment comme a_ixⁱ tels que pour que la somme fasse 0, il faut que les coefficients soient nuls.
Or si l'on veut que ca soit nul, il faut que ca le soit pour chaque degré du polynôme,
Ainsi il faut que a_ox^o soit nul, soit nécessairement que a₀ = 0.
De même pour chaque degré, il faut que le coefficient soit nul...

Ainsi on aurait : 0*1 + 0*x + 0*x²... + 0*xⁿ = 0. et ce seulement si on a bien tous les coefficients nuls.

Donc je pense pouvoir dire que la base est :
(1,x,x²,x³,...,xⁿ) de cardinal = n.
Est-ce bien ça ?

[gg0]

Oui,

c'est dit en termes peu mathématiques, mais c'est l'idée. Un théorème d'algèbre de base dit qu'un polynôme est nul si tous les coefficients sont nul. Ce qui veut dire que toute combinaison linéaire nulle de 1, x, x², ...x^n est à coefficients tous nuls.

Une remarque : L'espace vectoriel est celui des polynômes de degré au plus n, donc les éléments de la base sont obligatoirement des polynômes de degré au plus n. Il ne peut pas y avoir confusion. de plus les x^i ne sont pas des réels, donc ce ne sont pas des coefficients !!!

[invitec5d4310d]

Merci,
Oui c'est peu mathématiques car j'ai du mal à m'exprimer correctement sur le forum. Mais j'ai compris le principe et pense pouvoir le mettre en évidence clairement sur le papier.

Bien cordialement