Bonsoir...alors voila jai un exo que j ai pas réussi a faire en theorie des groupes ...je dois montrer que SO(3) est un groupe simple je ne vois pas comment je pourrais procédé si qlq peut me guidé ou m envoyé un pdf qui m aiderait ca serait gentil.. merci
Salut,
alors de mémoire (car c'est vraiment pas simple de montrer ca !) y'a une histoire de topologie (avec des connexes, je crois...) où il faut supposer que SO_3(R) N'est PAS simple et montrer que le groupe distingué est en fait trivial.
Faute de meiux, tente de partir avec ça, je vais rechercher mon TD demain !
@+
Ca serait vraiment supeer gentil de ta part si tu pouvais chercher ton TD pck je galére vraimentEnvoyé par L-etudiant
Bonsoir,
Il serait bon que tu précises ce que tu sais déjà sur le groupe en question, parce qu'il existe plusieurs preuves de sa simplicité. Par exemple, une preuve possible utiliser le fait queest connexe et qu'il est engendré par les retournements.
If your method does not solve the problem, change the problem.
salut, je n'y connais pas grand chose mais
si je suppose qu'on sait que :
si h,g ne commutent pas alors h^x et g ne commutent pas sauf si
on prend h un élément du sous-groupe, qui est une rotation d'angle
on prend g rotation d'angle
pour un certain x, on cherche s'il existe y tel que
ça implique que
donc déjà on a que les
ensuite on teste si il existe y tel que
ça impliquerait que
en fait on arrive à qu'il n'existe pas p,q premiers entre eux tel que :
ça permet de dire (je crois) que les
si tous les
Dernière modification par acx01b ; 30/12/2013 à 22h37.
Qu'est-ce que tu notes
If your method does not solve the problem, change the problem.
Salut,
en fait, je viens de me rendre compte que si c'est compliqué c'est par parce que j'ai eu l'impression que le prof lui-meme comprenait pas trop ce qu'il faisait...
Bref, voici "le plan d'attaque" :
1. Montrer que si
2. Montrer que si
(Indication : on pourra considérer
[C'est ici, que cela me parait curieux, on avait l'impression qu'il recopiait un corrigé sans comprendre...]
3. Montrer que
Voila, bon travail ! Et passe une bonne fête !
ben une rotation d'angle alpha au carré c'est la rotation d'angle 2 alpha,
si g c'est la rotation d'angle alpha autour de l'axe u :
alors g^b c'est la rotation d'angle b alpha autour de l'axe u
mais encore une fois c'était juste pour essayer je n'y connais rien en théorie des groupes, et quand je vois l'article de wikipedia anglais sur SO(3) je me rends compte que SO(3) n'est pas le groupe le plus simple au monde,
j'ai bien aimé la sphère où on identifie les points opposés de la surface, et l'histoire du groupe fondamental
tu as l'air de dire seirios (et l'etudiant) qu'il existe des arguments tordus/compliqués de ce genre pour dire que SO(3) est simple ?
d'ailleurs je me rends compte qu'il y a quelques autres cas dégénérés : g h commutent si ce sont des rotations d'angle pi autour d'axes perpentidulaires
Dernière modification par acx01b ; 31/12/2013 à 12h26.
Il est possible de montrer que SO(3) est homéomorphe à l'espace projectif en le faisant agir sur la boule unité des quaternions, mais on n'a pas besoin de ce genre de raisonnement pour montrer la simplicité du groupe. Finalement, le seul argument topologique dont on a besoin est la connexité de SO(3), que l'on peut obtenir en faisant agir SO(3) sur la gentille sphère S^2.
Une bonne référence est Histoires hédonistes de groupes et de géométries, tout ce dont on parle s'y trouve (la démonstration en question de la simplicité de SO(3) et l'histoire des quaternions).
Maintenant, tout cela n'est pas évident, c'est pourquoi il serait bon de savoir ce que sait déjà l'auteur.
Dernière modification par Seirios ; 31/12/2013 à 16h03.
If your method does not solve the problem, change the problem.
il faut absolument utiliser un argument de topologie pour motrer que SO(3) est simple? parce que la question est purement algébrique a priori (mais je sais qu'on ne peut pas démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss sans topologie)
Je crois qu'il y a une preuve géométrique (en travaillant avec les rotations) dans le Perrin, je regarderai demain.
If your method does not solve the problem, change the problem.
La preuve du Perrin est vraiment très belle, et très visuelle. L'idée de base est la même que la démonstration mentionnée plus haut : on sait que
Une manière d'obtenir un tel retournement est d'utiliser astucieusement la connexité de
Dans le Perrin, on se donne un élément non trivial
Soit
Remarquons que pour tout
On en déduit une propriété de transitivité pour les petites distances de l'action de
Clairement, si
Moralité : si deux points de la sphère sont à distance au plus
On peut alors se donner une suite de points
Maintenant,
Bien sûr, je renvoie au Perrin pour plus de détails.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Il y a également une preuve purement géométrique dans Naive Lie theory de Stillwell (en raisonnant en terme de rotations uniquement), mais tel qu'il est présenté, l'argument me semble moins convaincant (je pense qu'il faudrait rajouter un point de géométrie sphérique pour améliorer la preuve). Par contre, la preuve permet de montrer que si un sous-groupe distingué contient un retournement alors il contient n'importe quelle rotation, sans avoir à montrer que SO(3) est engendré par les retournements.
If your method does not solve the problem, change the problem.
[2ème essai de démonstration que SO(3) est simple]
si g est une rotation d'angle
on choisit un élément
un tel élément existe forcément, que H soit un sous-groupe fini ou non
on choisit
g,h ne commutent pas implique également que : pour
on considère l'application
--------------------
et
ainsi les
--------------------
on a par ailleurs :
ainsi les
--------------------
les f(x) sont donc un ensemble non dénombrable de rotations toutes d'angle
l'ensemble des axes de rotation des f(x) doit donc être dénombrable
ce qui implique que si les f(x) sont tous dans H alors H = SO(3)
Dernière modification par acx01b ; 01/01/2014 à 09h46.
il fallait lire bien sûr :
l'ensemble des axes de rotation des f(x) doit donc être non dénombrable
Il me semble qu'il y a plusieurs problèmes, principalement :
Je ne vois pas en quoi cela permet de conclure. D'ailleurs, siles f(x) sont donc un ensemble non dénombrable de rotations toutes d'angle
l'ensemble des axes de rotation des f(x) doit donc être dénombrable
ce qui implique que si les f(x) sont tous dans H alors H = SO(3)
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour ,il suffit de prouver que le centre Z(SO(3)) est trivial et réduit à l'identité .
Dernière modification par azizovsky ; 01/01/2014 à 10h52.
puisque un groupe est simple s'il ne possède aucun sous-groupe normal non trivial.
on sait que Le centre (Z) d'un groupe est un sous-groupe normal abélien...,bonne année pour tous le monde .
Dernière modification par azizovsky ; 01/01/2014 à 11h43.
le groupe symétrique Sn, n>2 a un centre trivial mais possède des sous-groupes distingués.
Salut , on démontre que Le seul centre Z(SO(3)) se réduit à l'identité (e=1).(pas plus dans notre cas))
Dernière modification par azizovsky ; 01/01/2014 à 12h28.
@azizovsky : j'ai l'impression que tu confonds les notions... Montrer que le centre est trivial (c'est-a-dire reduit au neutre, c.f. : #17, "trivial et reduit au neutre") ne suffit PAS à montre que le groupe est simple ! Comme le dit toothpick-charlie, S_n a un centre trivial pour n>= 3 et a A_n comme sous-groupe distingué pour n>=5.
Bonne année à tous.
Bonsoir , oui c'est vrai , je doit faire une mise à jour, je vais voir ....
Dernière modification par azizovsky ; 01/01/2014 à 16h40.
et merci pour la remarque ,ma démarche n'est pas suffisante .Bonsoir , oui c'est vrai , je doit faire une mise à jour
Bonsoir , j'ai trouvé ce théorème sur le net:
Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple. [(G,{e}) suite de Jordan-Hölder <==> G est simple ].
Dernière modification par azizovsky ; 01/01/2014 à 17h29.
