Matrice

[invite23b325ff]

Bonjour,
Énoncé:
A=( 1 -2 -6
-3 2 9
2 0 -3)
On me demande de montrer que pour k appartenant à N, A^(2k+1)=A
J'ai essayé de montrer ça par récurrence mais quand je calcule A^(2k+2)=(A^(2k+1))*A=A^2 , je trouve que A^2#A ..
Merci d'avance !
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[inviteec33ac08]

Bonjour,

La récurrence est une bonne idée, il suffit d'écrire les choses proprement: et calculer A^(2(k+1)+1) et de montrer que c'est bien égal à A et non A^(2k+2)
Tu remarqueras que les exposant sont toujours impairs alors que 2k+2 est pair d'où ton erreur

[invite23b325ff]

Mais dans l'énoncé c'est A^(2k+1) et non pas A^2(k+1) ?

[Seirios]

[Supprimé...]

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

2k+2 n'est pas de la forme 2k+1.

L'impair qui suit 3 est 5=3+2; celui qui suit 11 est 13=11+2; celui qui suit 2k+1 est 2k+1+2=2k+3=2(k+1)+1

[invite23b325ff]

A^2(k+1)+1=A <=> A^(2k+3)=A <=> A^(2k+1) * A^2=A <=> A^3=A .. ? C'est ça?

[inviteec33ac08]

C'est pas très rigoureux... il faudrait plutôt dire A^(2(k+1)+1)=A^(2k+3)
=A^(2k+1)*A^2
=A*A^2 par hypothèse de récurrence
=A^3
=A car à l'initialisation tu as du vérifier que A^3=A

ceci me semble plus correcte

[inviteafe88240]

Bonjour, je ne vois pas ce que vous voulez dire sur la dernière ligne. Moi je dis que au final vous devez tomber sur : A^(2(k+1) + 1) = A
je ne partirai donc pas de cela. Mais plutôt de l'hypothèse de récurence A^(2k + 1) = A. Je vais regarder le problème de plus près.

Bonne après midi.

[invite23b325ff]

Le problème est que A^3 me donne pas A! J'ai bien vérifié! Je l'ai calculé plusieurs fois!

[inviteafe88240]

C'est pas très rigoureux... il faudrait plutôt dire A^(2(k+1)+1)=A^(2k+3)
=A^(2k+1)*A^2
=A*A^2 par hypothèse de récurrence
=A^3
=A car à l'initialisation tu as du vérifier que A^3=A

ceci me semble plus correcte

Mince doubler.


Bonne après midi.

[inviteafe88240]

Si j'ai fait la démonstration et c'est ce que vous avez, normalement, vérifier avec l'initialisation(j'ai calculer à la main et avec une calculatrice.). Je ne vous connais pas mais le produit des matrices c'est bien "ligne fois colonne"(vite fais dit excusez mon peu de rigueur.). . J’espère que vous n'avez pas fait :

A^{2} = ( 1² (-2)² 6²
(-3)² 2² 9²
2² 0² (-3)²) .


Parce que c'est faut.

Bonne après midi.

[inviteec33ac08]

Eh bien il semblerait que tu t'es trompé...
tu peux le constater ici: http://www.wolframalpha.com/input/?i...3%7D%7D%2C3%5D

[inviteafe88240]

Par ailleurs pour rappel le produit matricielle n'est pas commutatif(si vous faîtes le calcul de A³ à la main.).

Bonne après midi.

[inviteafe88240]

Eh bien il semblerait que tu t'es trompé...

Qui c'est trompé.

[invite23b325ff]

J'ai calculé A*A= A^2 puis, A^2 * A

[inviteafe88240]

D'accord mais le produit matricielles dont on parles c'est celui présenté ici : produit matriciel ordinaire

[invite23b325ff]

Ah c'est bon, j'ai fait une faute de calcul!

[inviteec33ac08]

Eh bien vous vous êtes trompé AmeliaF je vous recommande de regarder ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_matriciel

Par contre, physik_theory le fait de dire que le produit matricielle n'est pas commutatif est vrai sauf que A^2*A=A*A^2 car A commute (au minimum !) avec toutes les puissance de A et l'identité bien sur.

[invite23b325ff]

On me demande après de montrer que A n'est pas inversible. Est ce qu'il ya d'autres méthodes à part le déterminant?

[inviteafe88240]

Bonsoir, pourquoi ne pas faire le déterminant; si il vaut zéro c'est bon la matrice n'est pas inversible.

Bonne soirée.

[inviteafe88240]

Par contre, physik_theory le fait de dire que le produit matricielle n'est pas commutatif est vrai sauf que A^2*A=A*A^2 car A commute (au minimum !) avec toutes les puissance de A et l'identité bien sur.

Euh oui c'est vrai désolez; c'était inutile de dire cela.

Bonne soirée.

PS : Blague de chimie : Que fais un composée oxygénée quand il apprend que l'un de ses isomère est un aldéhyde. Et bien il s'étonne(cétone.).