En utilisant la définition de la continuité

[inviteaf7e4316]

Bonjour!



f est continue en tout point xo de ℝ si et seulement si:
∀ε>0, ∃ α>0 / ∀x∈D, ∀xo∈D, |x−xo| ≤ α ⟹ |f(x)−f(xo)| ≤ ε

Il s'agit donc de trouver α tel que |f(x)-f(xo)| ≤ ε
⇔ |sin(2x)−sin(2xo)| ≤ ε
⇔ |2cos(x+xo)sin(x−xo)| ≤ ε
⇔ 2 |cos(x+xo)| |sin(x−xo)| ≤ ε
⇔ |cos(x+xo)| |sin(x−xo)| ≤ ε/2

C'est à ce stade que je bloque :S
Je ne sais plus comment faut faire pour aboutir à |x-xo| et trouver α !?


Merci d'avance

En attendant la validation: http://s21.postimg.org/dyvkchmsn/continuite_yahoo.png
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[VirGuke]

Tu fais quoi comme hypothèses sur la fonction sinus?

Y'a toujours l'identité

[invite8133ced9]

Bonjour,

Attention, ce que tu as défini ici est l'uniforme continuité de .
La continuité de en c'est:
∀ε>0, ∃ α>0 / ∀x∈D, |x−xo| ≤ α ⟹ |f(x)−f(xo)| ≤ ε

et la continuité de pour tout (ou continuité tout court), c'est:
∀xo∈D, f est continue en xo soit:
∀xo∈D, ∀ε>0, ∃ α>0 / ∀x∈D,|x−xo| ≤ α ⟹ |f(x)−f(xo)| ≤ ε

Pour prouver l'uniforme continuité, tu peux majorer le terme en valeur absolue de cos et utiliser l'inégalité

[inviteaf7e4316]

Ahhh faut donc démontrer cette inégalité par le TAF !!
.
.
⇔ |cos(x+xo)| |sin(x−xo)| ≤ ε/2
⇔ |sin(x−xo)| ≤ ε/2
⇔ |sin(x−xo)| ≤ |x−xo| ≤ ε/2

D’où il existe α = ε/2 !

Est-ce correct ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf7e4316]

@Mocassins, La question demande que f soit continue ∀xo∈ ℝ
Mais y a t-il une différence entre ces 2 propositions?
∀xo∈D, ∀ε>0, ∃ α>0 / ∀x∈D,|x−xo| ≤ α ⟹ |f(x)−f(xo)| ≤ ε
∀ε>0, ∃ α>0 / ∀x∈D, ∀xo∈D, |x−xo| ≤ α ⟹ |f(x)−f(xo)| ≤ ε

Je ne sais pas qu'est ce qu'une continuité uniforme :/

[VirGuke]

La deuxième définition est plus restrictive, ton epsilon et ton alpha doivent marcher sur tout le domaine de définition de ta fonction, c'est pas le cas pour la fonction carré par exemple. C'est l'uniforme continuité

La première tu vois bien que tu travailles en te donnant d'abord un x0 donc c'est très local.

[inviteaf7e4316]

Ah d'accord!

Mercii !