méli-mélo définition, continuité, dérivabilité, intégrabilité

[invite714141f2]

Bonjour, je rentre en math spé et je revois un peu mes cours de sup d'ici la rentrée. Mais les math ne sont pas mon point fort...je me rends compte que j'ai parfois du mal à voir la les implications qui existent (ou non) entre définition, continuité, dérivabilité et intégrabilité d'une fonction (d'une seule variable pour commencer).
Je connais les définitions de chacun des termes (vues en cours) mais j'ai quelque question vraiment bêtes dans la tête...

Ce serait très aimable à vous de me dire si mes affirmations sont justes et sinon pourquoi.

*dérivable ==>continue mais l'équivalence,elle, n'est pas toujours vraie.

*une fonction continue et/ou dérivable est forcément définie sur son intervalle de continuité et/ou dérivabilité

*une fonction définie et continue sur un intervalle est dérivable sur cette intervalle

*une fonction dérivable sur un intervalle est forcément définie et continue en tout point de cet intervalle

*une fonction intégrable sur I est forcément dérivable sur ce même intervalle I

*une fonction dérivable sur I est forcément intégrable sur ce même I

Merci d'avance
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[invite332de63a]

Bonjour,
*une fonction intégrable sur I est forcément dérivable sur ce même intervalle I

j'en doute un peu, prennons partie entière qui est intégrable sur tout intervalle, elle n'est pas dérivable en dehors d'un intervalle de la forme [n,n+1[

[Médiat]

Bonjour,
*dérivable ==>continue mais l'équivalence,elle, n'est pas toujours vraie. Exact
*une fonction continue et/ou dérivable est forcément définie sur son intervalle de continuité et/ou dérivabilité Exact
*une fonction définie et continue sur un intervalle est dérivable sur cette intervalle Faux (exemple la valeur absolue)
*une fonction dérivable sur un intervalle est forcément définie et continue en tout point de cet intervalle Exact
*une fonction intégrable sur I est forcément dérivable sur ce même intervalle I Faux (exemple la valeur absolue, intégrable sur [-1; 1])
*une fonction dérivable sur I est forcément intégrable sur ce même I Faux (exemple f(x) = 1/x sur l'intervalle ]0; 1], je suppose que intégrable = l'intégrale existe et est finie)

[invite3240c37d]

Juste pour préciser le dernier point. Je suppose que la question concernait l'intégrabilité habituelle de Riemann,
pour laquelle l'intervalle doit être borné et fermé : .
Dans ce cas une fonction dérivable sur est forcément intégrable sur ce même .

Si n'est pas fermé (cas du contre-exemple de Médiat) on parle alors d'intégrale impropre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite029139fa]

En fait, il faut que tu comprennes que Dérivable => continue => définie, mais les réciproques sont fausses dans le cas ou tu considères toutes fonctions.

Du coup pour ta troisième affirmation (qu est faussse comme cela a été dit), tu remarquera que la mention "définie" est inutile si tu parles de continue. Ainsi, cette meme affirmation devient "Continue=>dérivable" ce qui contredit te toi-même :

*dérivable ==>continue mais l'équivalence,elle, n'est pas toujours vraie.

En creusant un peu tu avais donc déja un élément de réponse

Elie520

[invite00970985]

Juste pour préciser le dernier point. Je suppose que la question concernait l'intégrabilité habituelle de Riemann,
pour laquelle l'intervalle doit être borné et fermé : .
Dans ce cas une fonction dérivable sur est forcément intégrable sur ce même .

Si n'est pas fermé (cas du contre-exemple de Médiat) on parle alors d'intégrale impropre.

Et tu n'as pas besoin de supposer ta fonction dérivable. Continue suffit.

En effet,une fonction continue sur un segment (intervalle borné fermé), est intégrable. Et vu que dérivable => continue, le tour est joué.