Soit notre bon espace vectoriel3 et sa base canonique e1=(1,0,0) ; e2=(0,1,0) et e3=(0,0,1)
Le produit tensoriel
Merci
Si cette question est vraiment jugée trop nulle, n'hésitez pas à supprimer le post ....
Oui, et ce sont bien des matrices, et c'est bien une représentation.
Là où cela se complique, c'est le produit tensoriel ExExE, représentable par des "matrices cubiques".
Mais l'algèbre tensorielle, c'est bien plus que cela.
A ma connaissance tu as plus ou moins deux facon (evidemment equivalentes) de voir le produit tensoriel :
- la version "algebre universelle", qui te dit que d'une facon générale, si tu as deux espaces vectoriels E,F de base
- la version plus concrete avec des produits de kronecker tout ca.
Dans ton exemple, tu as en un certain sens raison de voir ca comme des matrices. En effet, tu peux, une fois une base choisie, identifier R^3 a son dual, et voir la base du dual comme des vecteurs "en colonne". Dans ce cas le produit de Kronecker te donne bien des matrices, et cette operation correspond à l'isomorphisme
définit par : à un élément
Dans le cas d'espaces vectorielle (de dimension fini ou non d'ailleur) le produit tensoriel c'est pas plus compliqué que ca en effet.
la ou c'est un poil plus compliqué c'est quand on considère des produits tensoriel de module sur des anneau ou il peut ce passer des choses beaucoup plus riche.
la ou il y a quand même une petite subtilité de plus que ce que tu dit, c'est que si on considère deux element u dans E et v dans F, alors on peut leur associé un element "u tenseur v" dans E tenseur F (cette opération etant bilinéaire) et ce qui est important c'est que cette opération est "completement canonique" et ne dépend PAS de la base que tu a choisit à E et à F pour construire le produit tensoriel.
c'est pas aussi général que ca... ca ne marche que pour les espaces vectoriel de dimension fini... dans un cadre plus général (module sur un anneau)Envoyé par jobherzt
Ca aussi c'est une verité générale,
Tu as raison d'insister la dessus. Dans mon message c'etait sous entendu vu que E et F etaient des le depart de dimensions respectives m et n. Mais jaurais du preciser que je gardais les memes notations a ce moment la
Merci beaucoup pour vos réponses !
Je me doute bien que le calcul tensoriel c'est bien plus que cela ...
c'était juste pour tenter d'avoir une petite intuition du truc ....
Maintenant je vais essayer d'aborder ça de manière sérieuse avec le Que Sais Je: "Le calcul tensoriel" par André Delachet.
Formes linéaires, Espace Dual, Covariance, Contravariance, etc, etc ...
D'autre part j'ai lu que pratiquement toute équation peut s'écrire sous forme tensorielle et que l'intérêt de celle ci est de garantir l'invariance par changement de référentiel ... et de faire apparaitre les propriétés intrinsèques ....
Comme disait Langevin, "Le calcul tensoriel sait mieux la physique que le physicien lui-même"
Mais dans la rubrique "les tenseurs pour les nuls", auriez vous un exemple basique non issu de la physique ? (parce que dans mon jeune temps j'ai fait une licence de Maths mais pratiquement jamais de physique......)
Encore une fois je ne veux pas polluer ce forum avec mes questions à 2 balles ....
Pierre.
Peux tu développer stp car je pense que cette précision a rapport avec ma question précédente ...la ou il y a quand même une petite subtilité de plus que ce que tu dit, c'est que si on considère deux element u dans E et v dans F, alors on peut leur associé un element u
Merci beaucoup
Toute équation en physique... C'est le principe de covariance générale. Précisons que les équations portent sur des champs de tenseurs, et donnent des relations locales entre ces champs. Dans la littérature physique la distinction entre tenseur et champ de tenseurs (une valeur par lieu-moment de l'espace-temps, prise dans l'algèbre tensorielle tangente) est rarement faite.
Ce n'est pas ce genre de questions qui polluent le forumEncore une fois je ne veux pas polluer ce forum avec mes questions à 2 balles ....
oui.
Supposons que j'ai E,F deux espaces vectoriel (on peut les supposer de dimension fini pour simplifier, mais ce n'est pas nécessaire en réalité)
Je fixe
la construction que tu donne dans ton premier post définit "le produit tensoriel de E et F relativement aux base (ei) et (fj)" c'est un vectorielle ayant pour base la famille
maintenant, si je prend un element e dans E et un element f dans F.
je peux ecrire
les ai et bj etant des scalaire quelconque.
il est alors naturel de poser
(naturel dans le sens ou on ecrit e tenseur f et on develope comme si tenseur etait un produit distributif sur l'addition...)
maitenant si on considère e'_i et f'_j deux autres base de E et F, alors le résultat est que :
c'est ca qu'on entend par "l'invariance par changement de base", c'est à ce sens que l'espace
après la facon dont on ecrit une equation de la physique comme une equation tensoriel, ca j'en sais rien...
