Bonjour, j'ai besoin d'aide pour répondre à trois questions concernants les nombres irrationnels.
-Question 1: Démontrer que racine carré de 2 est irrationnel
Réponse:
On suppose que Rac(2) = a/b avec a et b nombres entiers.
*Premièrement
a et b ne sont pas tous les deux des nombres pairs, dans le cas contraire on divise a et b par 2 jusqu'à obtenir une fraction où le numérateur et le dénominateur ne sont pas tous les deux divisibles par 2.
=>a et b ne sont pas tous les deux des nombres pairs
*Deuxièmement
On a donc: Rac(2)=a/b
soit (Rac(2))^2 = (a/b)^2
soit 2 = a^2/b^2
soit a^2 = 2(b^2)
=> a^2 est donc un nombre pair donc a est un nombre pair.
*Troisièmement
On vient de voir que que a est un nombre pair, c'est à dire que a est le double d'un nombre entier a'
Soit a = 2a'.
Soit a^2 = (2a')^2 = 4a'^2.
Avec a^2 = 2b^2, on a 4a'^2 = 2b^2
Soit b^2 = 2a'^2.
=>b^2 est donc un nombre pair donc b est un nombre pair.
*Finalement :
On a :
=>a et b ne sont pas tous les deux des nombres pairs
=> a un nombre paire
=>b est un nombre paire
====> On a donc une contradiction , une absurdité, conclusion : Rac de 2 est irrationnel.
-Question 2: Montrer que (1 + Rac(5)) / 2 est irrationnel.
Réponse: ? Multiples tentatives je n'aboutis à rien de très convainquant...
-Question 3: Plus généralement, montrer que si n est un nombre entier naturel, alors Rac(n) est un nombre irrationnel, à moins que n ne soit le carré d'un entier naturel, auquel cas Rac(n)est un entier naturel. Montrer que si x est un nombre irrationnel et a et b deux nombres rationnels, alors ax + b est un nombre irrationnel.
Réponse:? …
Merci d'avance
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