Commutant d'automorphismes

[invite11607b38]

Bonsoir, bonsoir,

Je viens quérir votre aide ce soir pour glaner des idées/pistes/infos/suggestions concernant l'énoncé suivant :

Trouver l’ensemble des A ∈ Mn(C) telles que : ∀M ∈ GLn(C), AM = MA.

Pour être franc, je n'ai pas encore écrit une seule ligne digne d’intérêt depuis que je travaille sur cet exercice (ça n'est pas faute d'essayer, je retourne mes cours dans tous les sens, mais je n'ai pas la moindre idée concernant le rapport qui doit pourtant exister entre ce commutant et ces automorphismes).

Donc la moindre réponse me sera d'une aide précieuse !

Merci par avance pour votre aide et votre patience.

Bonne soirée,

Ben'
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[invite47ecce17]

Bonsoir,
Une proposition de solution.
Montre que dans l'enoncé on peut remplacer quelque soit M dans GL_n(X) par quelque soit M dans M_n(C).
Puis en utilisant des endomorphismes de rang 1 bien choisi montre que A stabilise toute droite.
Montre alors qu'une endormorphisme stabilisant toute droite est une homothetie.

Autre possibilité (plus algébrique) examine ce qu'implique le fait qu'une matrice commute avec une matrice diagonale.

[invite11607b38]

Tout d'abord, merci pour ta réponse rapide,

Montre que dans l'enoncé on peut remplacer quelque soit M dans GL_n(X) par quelque soit M dans M_n(C).

Puis en utilisant des endomorphismes de rang 1 bien choisi montre que A stabilise toute droite.
Montre alors qu'une endormorphisme stabilisant toute droite est une homothetie.[/QUOTE]

Tu as raison, le fait que M appartienne à GLn(C) signifie bien que M est dans Mn(C) avec en plus l'information que M est inversible.

En revanche, au risque de paraître bête, j'avoue que je ne saisi pas du premier coup le fait que A stabilise toute droite. Encore plus honteux : je ne saisi pas ce à quoi correspondent les endomorphismes que tu me proposes de considérer...

Autre possibilité (plus algébrique) examine ce qu'implique le fait qu'une matrice commute avec une matrice diagonale.

Je veux bien tenter, mais peux-tu m'expliquer ce qui t'as fait penser à ces matrices diagonales ?

Merci encore pour ton aide.

Bonne soirée,

Ben'

[Seirios]

Bonjour,

Si l'on connaît le résultat de diagonalisation stipulant que si deux matrices commutent, avec l'une diagonalisable, alors les deux sont diagonalisables (dans une même base), on en déduit que M est nécessairement diagonalisable, et même diagonale puisqu'elle va commuter avec les matrices de passages. Ensuite, en prenant des matrices élémentaires qui vont permuter les éléments diagonaux, on déduit finalement que M est une homothétie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite179e6258]

supposons qu'il existe des vecteurs u et v non collinéaires tels que Mu=v. On considère P la projection sur la droite engendrée par u. Alors Pu=u donc MPu=v mais PMu est collinéaire à u et donc P ne commute pas avec M. On en déduit que pour tout u, Mu est collinéaire à u (M stabilise toute droite selon la terminologie de MiPaMa)