Developpement limites

[invite6313a1e2]

bonsoir a tous !

dans un exercice on demande de donner le developpement limites de la fonction f(x)= racine de (1+cosx) en zero a l'ordre 3 , d'abord j'ai fait le DL de cosx c'est 1-(x²/2)+o(x3) .
Apres j'ai rendu l'equation sous la forme de (1+cosx)^1/2 (puissanse un demi ) et j'ai applique la regle de developpement limtes de la fonction usuelle (1+x)^α qui est 1+αx +(α(α-1)/2! *x² ) +(α(α-1)(α-n+1)/3! *x3 ) ( j'ai pris cosx=X) et j'ai trouve a la fin DL de la fonction f(x) egale a (3/8)-(x²/4) .est-ce que la reponse est juste :/ ?

Merci d'avance.
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[invite705d0470]

Pas du tout !

D'abord, le minimum est de vérifier que ce que tu as écrit a du sens: si x tend vers 0, ton expression de départ et celle obtenue après calcul tendent-elle vers la même limite ?

Ton erreur est une erreur classique: tu as appliqué une formule (fausse telle que tu l'écrite d'ailleurs) sans la comprendre.

Une astuce est de remarquer que donc on prévoit déjà

Reprenons en supposant qu'on ne l'ait pas vu, car normalement avec un exemple clair on sait mener presque tous les calculs de développement limité:

Une méthode, lorsque ta fonction ne tend pas vers 0, c'est de tout faire pour te ramener à des développements que tu connais, par exemple celui ci:

Autrement dit, tu vas essayer de faire apparaitre une expression de la forme précédente (dans la racine). Attention, ce dernier n'est "valable" (ou utile plutôt) que lorsque x est proche de 0 !
Ici, tu peux faire comme celà (essaie de comprendre pourquoi) et donc en posant qui tend bien vers 0 lorsque x tend vers 0 tu peux appliquer la composition des DL, à savoir: .

Et finalement, tu retrouves le résultat qu'on voulait !

Il suffit (mais il faut) s'entraîner, c'est tout

[invite6313a1e2]

Mercii beaucoup !!ya plein de choses que j'ai pas fait attention

[Médiat]

Bonjour,

Il me semble que ce serait plutôt ?

Ceci dit, la méthode initiale de AltairA7 n'est pas mauvaise, sans faute de calcul en effet 1 + cos(x) = 2-(x²/2)+o(x³) = 2(1 - (x²/4) + o(x³))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6313a1e2]

Ah oui , je me rappelle au cours le prof nous a ecrit DL de racine(1+u) c'est 1+(1/2)u -(1/8)u2 + (1/16)u3 +o(x3) . Donc a mon cas alpha est egale a 1

[invite705d0470]

Mea culpa, il a sauté ^^

Oui celà revient au même, il faut juste comprendre qu'on doit factoriser. (parce que prendre X=cos(x), c'est pas la bonne solution)

[breukin]

La formule générale, à arrêter à l'ordre qu'on désire, c'est :