Groupe ouvert, fermé

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Je suis en train de plancher sur un exo et je ne vois pas par où commencer pour la dernière question.

On considère H l'ensemble des matrices inversibles tels que elles sont trigonalisables

1)On me demande si H est un sous-groupe de Gln(k) ?

si k=R j'ai montré que non car on n'as pas la stabilité par multiplication
si k=C oui car toute matrices de Gln(C) est trigonalisable car son polynôme caractéristique sera scincé

2)H est il connexe ?

si k=R non car on peut trouver deux matrices de H tels que le déterminant de l'une est positif et le déterminant de l'autre est négatif par conséquent comme on sait que Gln(R) admet deux composantes connexe qui sont Gln+(R) et Gln-(R) alors H n'est pas connexe

si k=C on montre facilement que H=Gln(C) et Gln(C) est connexe par arcs donc connexe


3)H est il fermé ouvert traiter le k=R et k=C là je bloque je ne vois pas trop comment faire

Quelqu'un aurait une piste ?

cordialement
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[Seirios]

Bonsoir,

2)H est il connexe ?

si k=R non car on peut trouver deux matrices de H tels que le déterminant de l'une est positif et le déterminant de l'autre est négatif par conséquent comme on sait que Gln(R) admet deux composantes connexe qui sont Gln+(R) et Gln-(R) alors H n'est pas connexe

Tu peux également utiliser le déterminant, c'est plus simple que d'utiliser la caractérisation des composantes connexes de GL(n,R).

3)H est il fermé ouvert traiter le k=R et k=C là je bloque je ne vois pas trop comment faire

Ouvert dans GL(n,R) ou dans M(n,R) ? Dans GL(n,R), tu peux regarder la suite (1/k)Id; dans M(n,R), il suffit de prendre une matrice 2x2 non triangulable simple, et essayer de l'approcher par des matrices triangulables en ajoutant des coefficients 1/k.

Pour k=C, c'est toujours aussi simple que les cas précédents.

[inviteec33ac08]

Bonsoir,

Tu peux également utiliser le déterminant, c'est plus simple que d'utiliser la caractérisation des composantes connexes de GL(n,R).

Pour k=C, c'est toujours aussi simple que les cas précédents.

Re,

merci de votre réponse,
je ne vois pas trop comment utiliser le déterminant sauf en utilisant mon raisonnement à savoir prendre deux matrices dont l'une a le déterminant positif et l'autre négatif puis utiliser les composantes connexes de Gln(R)

Bonsoir,

Ouvert dans GL(n,R) ou dans M(n,R) ? Dans GL(n,R), tu peux regarder la suite (1/k)Id; dans M(n,R), il suffit de prendre une matrice 2x2 non triangulable simple, et essayer de l'approcher par des matrices triangulables en ajoutant des coefficients 1/k.

Pour k=C, c'est toujours aussi simple que les cas précédents.

Il faut montrer que H est soit ouvert soit fermé dans Gln(k) mais justement la suite (1/k)Id appartient à H mais quand on fait tendre k vers l'infini alors cette suite converge vers la matrice nulle mais alors on ne peut pas conclure car la matrice nulle n'appartient pas à Gln(k).

En fait je crois qu'il est fermé pour ouvert je ne sais pas. Pour fermé je pensais au début prendre une suite de matrices trigonalisable sur R qui converge vers une matrice inversible non trigonalisable ie trouver une matrice dans Gln(R) dont le polynome caractéristique n'est pas scindé et qui est limite d'une suite de matrices trigonalisables. Mais je n'arrive pas à aboutir c'est pourquoi je pense qu'il est fermé.

Dans le cas ou k=C alors H=Gln(C) on sait que Gln(C)=H donc H est à la fois ouvert et fermé car égal à l'espace tout entier.

Merci encore

[Seirios]

je ne vois pas trop comment utiliser le déterminant sauf en utilisant mon raisonnement à savoir prendre deux matrices dont l'une a le déterminant positif et l'autre négatif puis utiliser les composantes connexes de Gln(R)

On peut raisonner de la même manière que pour montrer que GL(n,R) n'est pas connexe : l'image par le déterminant n'est pas connexe, or l'image d'un connexe par une application continue est connexe.

Il faut montrer que H est soit ouvert soit fermé dans Gln(k) mais justement la suite (1/k)Id appartient à H mais quand on fait tendre k vers l'infini alors cette suite converge vers la matrice nulle mais alors on ne peut pas conclure car la matrice nulle n'appartient pas à Gln(k).

En fait je crois qu'il est fermé pour ouvert je ne sais pas. Pour fermé je pensais au début prendre une suite de matrices trigonalisable sur R qui converge vers une matrice inversible non trigonalisable ie trouver une matrice dans Gln(R) dont le polynome caractéristique n'est pas scindé et qui est limite d'une suite de matrices trigonalisables. Mais je n'arrive pas à aboutir c'est pourquoi je pense qu'il est fermé.

En fait, H est fermé dans GL(n,R) et la suite que j'ai donnée montre qu'il ne l'est pas dans M(n,R) (et non dans GL(n,R) comme je l'ai mentionné; en passant, la seconde indication que je t'ai donnée ne fonctionne d'ailleurs pas). Donc la réponse dépend de la question qui est posée...

Ensuite, comme GL(n,R) est ouvert dans M(n,R), H est ouvert dans GL(n,R) ssi il est ouvert dans M(n,R), donc ici il n'y a pas d'ambiguïté. En regardant , tu peux remarquer que H n'est pas un ouvert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

En fait, H est fermé dans GL(n,R) et la suite que j'ai donnée montre qu'il ne l'est pas dans M(n,R) (et non dans GL(n,R) comme je l'ai mentionné; en passant, la seconde indication que je t'ai donnée ne fonctionne d'ailleurs pas). Donc la réponse dépend de la question qui est posée...

Ensuite, comme GL(n,R) est ouvert dans M(n,R), H est ouvert dans GL(n,R) ssi il est ouvert dans M(n,R), donc ici il n'y a pas d'ambiguïté. En regardant , tu peux remarquer que H n'est pas un ouvert.

Re et merci de votre réponse

Le problème c'est que je ne vois pas trop comment montrer que H est fermé dans Gln(R) proprement...

Ensuite, la matrice donnée est une suite de matrice non trigonalisable sur R, le polynôme caractéristique n'étant pas scindé et converge dans H on a donc montré qu'il existe une suite de matrice non trigonalisables qui converge vers une matrice trigonalisable sur R donc les matrices non trigonalisables ne sont pas un fermé de Mn(R) par conséquent le complémentaire donc les matrices trigonalisables n'est pas un ouvert de Mn(R) donc ce n'est pas un ouvert de Gln(R).

[Seirios]

Le problème c'est que je ne vois pas trop comment montrer que H est fermé dans Gln(R) proprement...

Il y a un exercice classique qui consiste à montrer que l'adhérence des matrices diagonalisables dans M(n,R) est précisément l'ensemble des matrices trigonalisables. À partir de ce résultat, on obtient directement que H est fermé dans GL(n,R). Par contre, l'argument de cet exercice ne me vient pas, je vais y réfléchir un peu plus.