fonctions continues par morceaux périodiques et norme

[gabi13]

Bonjour


Avant de poser ma question je voudrais souhaiter une bonne et heureuse année 2014 à tous les utilisateurs de ce site très utile


j'étudie en ce moment les séries de Fourier, et j'ai lu sur un site que l'ensemble
des fonctions de R vers C, 2pi périodiques et continues par morceaux sur R est un C espace vectoriel.
On le note CM2pi:

∀f ∈ CM2π, ∀x∈ℝ
L'application f est bornée sur ℝ et on a quelque soit x de R , (( f ))∞ = sup_t∈ℝ∣f(t)∣ = sup_{t∈[x,x+2π]}∣f(t)∣

Puis il est dit que : L'espace (CM2π;(( . ))∞) est un espace vectoriel normé.
Que ce soit un espace vectoriel: je suis d'accord mais qu'il soit normé, ça je ne le comprends pas.

Parce que quelque soit f appartenant à CM2pi , quelque soit x de R ,
sup∣f(x)∣= 0 n'implique pas f = 0 pour les fonctions continues par morceaux et 2pi périodiques.

merci de m'éclairer (par des dessins ou démo.) en cette nouvelle année

ps: cela fait un peu près 20 ans que j'ai quitté la fac
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[inviteea028771]

Parce que quelque soit f appartenant à CM2pi , quelque soit x de R ,
sup∣f(x)∣= 0 n'implique pas f = 0 pour les fonctions continues par morceaux et 2pi périodiques.

Ah? Une fonction dont la valeur (en valeur absolue) ne dépasse pas 0 n'est elle pas nulle?

Si tu as une fonction non nulle, il existe un tel que , c'est à dire , et alors

[gabi13]

désolé
je ne comprends pas le rapport !

[gg0]

Alors clairement :

"Parce que quelque soit f appartenant à CM2pi , quelque soit x de R ,
sup∣f(x)∣= 0 n'implique pas f = 0 pour les fonctions continues par morceaux et 2pi périodiques."
est faux ! Visiblement faux !
C'est même vrai pour toutes les fonctions de n'importe quel ensemble dans R.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]