Séries numériques et développements limités.

[invite13cd37f1]

Bonjour tout le monde,

Question : lorsqu'on développe le terme général d'une série numérique afin d'étudier la convergence de celle ci, quand est ce qu'on peut négliger le terme d'erreur ? car dans certain exemples on trouve qu'on est mené à étudier même le terme d'erreur comme terme général d'une série numérique, et parfois on le néglige et on dit que le terme général de la série étudiée et équivaut à la partie régulière de son développement.

merci d'avance.
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[invite13cd37f1]

et voila l'exemple qui m'a poussé à poser la question :

un développement d'ordre 1 nous donne :

(b et c deux nombres réels : )
dans ce développement l'auteur à juste dit que "tous les termes sont de même signe à partir d'un certain rang et on a U_n et équivalent à

Puis juste après et lorsqu'on a pousser le développement jusqu'à l'ordre 2 :

(b et c deux nombres réels :)
dans ce cas il n'a pas négliger l'erreur en étudiant la série du reste.

Je pense que la clé de mon problème repose dans la phrase : "tous les termes sont de même signe à partir d'un certain rang" que je n'ai pas bien saisi.

[gg0]

Bonjour.

On fait des calculs parce qu'on en a besoin. Pas pour le plaisir !
Je n'ai pas le contexte de ces calculs, mais dans le premier cas, on a suffisamment d'éléments pour prouver la divergence (voir la suite)..
Pour le deuxième cas (une autre série, j'espère !!) comme je ne sais pas quel était le but du calcul, je ne peux que te renvoyer à ton énoncé et à ton corrigé.

mais il n'y a pas de règle à priori, on se contente d'agir intelligemment (avec une bonne connaissance des règles : Souvent, quand on ne comprend pas pourquoi le prof fait un calcul, c'est qu'on ne connaît pas assez le cours pour voir que c'est "évidemment" ça qu'il faut faire).

Cordialement.

[invite13cd37f1]

que veux tu dire par :

dans le premier cas, on a suffisamment d'éléments pour prouver la divergence (voir la suite)..

on a une série qui s'avère être la somme d'une série divergente et d'une autre dont on ne connait rien ! comment peut on conclure ?
sinon, qu'est ce qui nous permet d'établir l'équivalence entre et le terme régulier du développement (càd négliger l'erreur) ?

Prière de me répondre directement.

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu sembles manquer de connaissance sur le lien entre développement limité et équivalent. De façon évidente, le premier terme non nul d'un DL est un équivalent (démontre-le, ça te fera progresser). Puis tu appliques le critère des équivalents pour les séries de signe constant (à partir d'un certain rang, puisque les premiers termes ne changent rien à la convergence). Ici, on a .

Un bon conseil : Relis un cours sur les équivalents, les DL, puis sur les séries.

Cordialement.

[ansset]

Je pense que la clé de mon problème repose dans la phrase : "tous les termes sont de même signe à partir d'un certain rang" que je n'ai pas bien saisi.

dans la première série par exemple si b+2c est négatif mais suffisamment petit, alors les premiers termes peuvent être éventuellement positifs quand eps est positif.
mais rapidement |(b+2c)/n| >> (1/n)*eps(1/n) donc tous négatifs.
car |(b+2c)| >> eps(1/n)

sinon, je ne vois pas de différence de raisonnement pour la seconde série.
donc je saisi mal l'énoncé si la présentation est bien celle ci.

[acx01b]

je suis d'accord avec gg0 : il faut reprendre le cours, c'est à dire dans l'idéal re-démontrer tous les théorèmes du genre

si alors que peut-on dire de sachant que certaines de ces propriétés sont vérifiées :
- converge/diverge
- converge/diverge
- converge/diverge
- converge/diverge
- à partir d'un certain rang
- à partir d'un certain rang
- etc.

pareil avec
pareil avec

[gg0]

Acx01b,

tu as oublié . Qui est la clef dans le premier cas.

Ansset : Tout comme toi, je n'ai pas trop compris la deuxième partie du message initial.

Cordialement.

[invite13cd37f1]

la deuxième partie en fait est la suite de la première : on a fait un développement d'ordre 1 et on a dit que si alors on aura la convergence ( d'après le critère d'équivalence des séries de signe constant : ici on a l'équivalence avec une série de Riemann convergente ). MAIS si , on pousse le développement plus loin, ce qui nous donne le deuxième développement d'ordre 2 !!! alors dans ce deuxième développement même chose, on doit s'assurer que le terme régulier ne s'annule pas ! MON problème ici c'est que dans le corrigé et adns cette deuxième partie, et même si on a poser la condition pour que le terme régulier soit non nul, on n'a PAS utiliser le critère d'équivalence ! on a étudier même le terme d'erreur comme étant le terme général d'une serie (qu'on a en fait majoré par une série de Reimann convergente pour montrer sa convergence).
POURQUOI on n'a pas pu utiliser la critère d'équivalence dans le deuxième cas ?! j'éspère que vous compreniez mon problème.

[ansset]

POURQUOI on n'a pas pu utiliser la critère d'équivalence dans le deuxième cas ?! j'éspère que vous compreniez mon problème.

oui et non,
c-a-d que tel que présenté, le deuxième cas est équivalent au premier pour moi.
pose la question à ton prof, après avoir vérifié que tu as proprement retranscrit le second exercice.

il se peut aussi ( je n'en sais rien ) , que le prof ait tenu a expliquer plus à fond pourquoi ( comment ) on pouvait négliger le O(1/n )
et qu'il ait pris le second exercice en exemple.

ps: quand au cas B+2C =0, il est évident qu'il change totalement la nature du problème car seul le second terme existe.