Bonjour
Je dois résoudre cette EDP: ∂u/∂t +∂²u/∂x² = So*δ(x-xo)*sin(wo*t) dans la cadre d'un projet.
C'est l'équation de la chaleur avec un terme source. Je dois utiliser la méthode de séparation de variable, je sais le faire sans terme source, mais là je dois prendre en compte ce second membre et je n'ai plus trop d'idées. Le delta de dirac me gêne énormément.
Quelqu'un connaît la méthode?
En remerciant d'avance
Salut,
Si je ne m'abuse, le delta de dirac revient juste à dire qu'il y a un saut dans tes dérivées spatiales en X0. Donc dans tout l'espace l'équation différentielle est sans terme source et tu peux la résoudre comme tel puis recoller les deux en X0.
En fait ça revient à résoudre le problème de la chaleur sur un demi-espace avec un flux donné oscillant en 0, ce qui doit donner un sinus qui s'amorti avec la distance.
Salut et merci de ta réponse,
Donc si je comprends bien cela revient à écrire mon EDP de cette manière:
∂u/∂t +∂²u/∂x²=0
∂u//∂x (0,t)= So*sin(wo*t) ?
Cela ne pose pas de problème lors de la résolution par séparation de variable? Parce qu'à mon niveau je n'ai pour l'instant utilisé que des conditions de Dirichlet avec température nulle au bord.
A un 1/2 près oui.Envoyé par zeppelin91
Au passage, c'est un - et pas un +, là c'est divergent comme équation.
A priori ça ne pose pas de problème avec la séparation des variables, tu appliques les conditions limites sur les dérivées, mais il faut que tu sois sur un domaine borné. Dans le cas contraire il faut que tu passes par autre chose, la transformée de Fourier de ton équation par exemple.
Oui au temps pour moi c'est effectivement un -
Mon domaine est supposé être un câble isolé sur toute sa longueur. En gros j'ai 0 < x <L et t > 0.
Je n'ai pas de condition limite en x=L, j'imagine que je peux supposer ce que je veux.
Lorsque je sépare les variables j'obtiens ça : φ''(x)=λφ(x)
Ψ'(t) = λΨ(t)
D'habitude j'impose 0 en température aux deux limites, ce qui réduit le champ de solutions pour φ et facilite pas mal de choses..Mais là avec cette condition je sais pas trop quoi faire...
Mais tu es sûr de devoir utiliser la séparation des variables? J'ai regardé un peu plus en détail, ça se prête très mal aux conditions limites périodiques en temps.
Le sujet de mon exercice me dit d'aborder le problème par une méthode spectrale. Y a un moyen plus simple? Parce que je ne maîtrise pas vraiment tout ce qui est Transformée de Fourier, ou du moins avec des conditions aux limites simples..
Ben en fait si tu prends la transformé de fourrier en espace de ton problème tu tombes sur une équadiff qui est assez facile à résoudre mais après il faut calculer la transformée inverse (faisable mais casse pieds).
T'as quelques éléments sur wikipedia, en bas de la page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Conduction_thermique
Je vais essayer de réfléchir quand même à la séparation des variables histoire de ne pas te dire de bêtises mais j'ai l'impression que sans trouver une solution particulière ça va être chaud...
Merci pour le lien!
J'ai jamais fait le cours sur la transformation de Fourier, je n'ai compris que très vaguement la notion.. Comment on l'applique pour la distribution dans mon cas?
La page wikipedia me dit que dans le cas particulier où on prends T0=0 et S=δ(t)δ(x), on a F(T)=exp(-4Pi²Dp²t), ça marche pareil du coup pour ma source cyclique?
Bon, j'ai rien trouvé avec la séparation des variables ^^
Mais déjà, c'est quoi exactement le contexte de ton projet? Genre gros travail personnel ou juste un devoir maison? Parce que méthode spectrale ça fait plus référence à la TF quand même...
Ici en fait toi, donc
Ou sinon, tu dois pouvoir calculer la solution de l'équation différentielle F' - 4Pi^2p^2F = S sin(wt) à p constant puisque c'est découplé et calculer la TF du résultat.
Oui c'est un devoir que je dois rendre! Sauf que dans mon parcours d'avant, rien sur les séries de Fourier, j'ai du m'informer tout seul..
Pour la transformée de Fourier de la source, c'est pas plutôt F(P)=S0sin(wt)E(-2iPipx) ? pourquoi l'expo part?
Et donc si je résous F' - 4Pi^2p^2F = S sin(wt) et fais la TF inverse, j'ai fini? Quand est-ce je fais valoir les conditions initiales?
Tes conditions initiales sont dans F(T0) et dans ce cas là il vaut mieux pour toi utiliser leur formule.
Si si tu as raison, mais si tu translates ton problème pour que x0=0 tu évite de te trimbaler l'exponentielle, mais du coup si t'as des CI c'est pas nécessairement mieuxPour la transformée de Fourier de la source, c'est pas plutôt F(P)=S0sin(wt)E(-2iPipx) ? pourquoi l'expo part?
Je trouve ça quand même bizarre qu'on vous lâche comme ça sans outils, vous n'avez rien vu sur le dirac?
Dernière modification par VirGuke ; 23/01/2014 à 00h41.
Rien du tout sur le dirac non, j'ai un parcours un peu spécial, j'ai atteri en L3 MathMéca sans avoir fait le cours sur les séries de Fourier, et les transformées..
J'ai trouvé un exemple ou ils étudient le cas où il y a température sinusoïdale imposée en surface en régime périodique établi, est-ce que c'est similaire à mon cas?: http://monsite-a-oim.pagesperso-oran...thermique3.pdf
Là le truc c'est que c'est température imposée, T(x=0, t) = T0 cos (ωt) et pas source.
Ils considèrent directement qu'on doit se trouver avec une solution de ce type T( t,x ) = exp(iωt) f(x)
Si si, tu devrais trouver la même chose en travaillant avec la dérivée de f en 0 au lieu de la valeur de f en 0.
Après il va falloir que tu annules ta solution en L.
J'ai mis ça:
Flux sinusoïdal imposé en x_0.
Nous avons ∂T/∂x (0,t)=S0 sin(wt)
Nous recherchons une solution en régime établi pour lequel le champ de température du milieu évolue comme suit :
T(t,x)=e^iwt f(x)
Je remplace dans l’équation et j’obtiens f''-ikwf=0, et f' (0)=S0 et f(L)=0
Donc f(x)=Ae^(-√ikwx)+Be^√ikwx
Donc là en gros si je trouve f en utilisant f' (0)=S0 et f(L)=0 et que je prends la partie imaginaire de la solution j'ai fini? Ce qui me gêne ici c'est que c'est à la base utilisé dans le cas des milieux semi-infinis..Et que ce n'est à priori pas une méthode spectrale..
Ce qui me plaît c'est que je tombe bien sur une oscillation qui s'estompe avec la distance...
Ben si c'est une méthode spectrale. Normalement c'est bon, et c'est quoi le problème d'utiliser la même base que pour le milieu semi-infini?
