Distributivité matrice

[invitebfb0bb71]

Bonjour,
j'ai un petit soucis et j'espère que vous m'aiderez à le régler.

Soient x un vecteur appartenant à R^N et A une matrice NxN alors :

x'((x'Ax).A+Axx'A)x
= x'Ax.x'Ax + x'Ax.x'Ax
= 2x'Ax^2

Ce que je comprend pas c'est la partie en gras
si je distribution le x' en facteur à ce niveau il va multiplier à droite le premier terme ?
personnellement j'aurais mis :
= x'x'Ax.Ax + x'Axx'Ax
Merci pour votre aide

Je crois que j'ai compris d'où vient mon problème si je fait x'x' je peux pas faire mon produit. donc le résultat parait logique même si je comprend pas trop.
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[invitebfb0bb71]

Persone ?!

[invite179e6258]

x'Ax est un scalaire. Il commute avec les vecteurs et les matrices.

[invite8133ced9]

La pseudo-associativité du produit matriciel ne fonctionne que quand les produits sont définis. Il vaut mieux utiliser des parenthèses et écrire x'(x'Ax) plutôt que x'x'Ax même si x'(x'Ax) est effectivement la seule manière d'interpréter x'x'Ax.

En toute rigueur il faut aussi distinguer le produit de "scalaires" x'Ax, x'x avec des matrices non adaptées du produit matriciel en systématisant la notation ".", ceci pour minimiser les erreurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebfb0bb71]

Merci c'est maintenant très clair !

[invite179e6258]

Mocassins a bien mieux expliqué les choses que moi. En fait c'est une très mauvaise (mais efficace) habitude en calcul matriciel, de confondre les vecteurs et les matrices nx1, ou 1xn (on parle alors de "vecteur ligne") et les scalaires avec la matrice diagonale ayant ce scalaire sur la diagonale. Si A est une matrice et a un scalaire, aA s'obtient en multipliant les termes de A par a. Mais si a désigne la matrice diagonale (aI), alors aA est aussi le produit matriciel. Et on peut même écrire avec un très gros abus de notation, aA=Aa (l'abus est dans le cas où A n'est pas carrée). Alors on voit que aAB=AaB=ABa, etc. Tout ça on le trouve couramment dans les calculs matriciels que font les statisticiens, mais évidemment ce n'est pas très catholique.