Factorisation polynôme 6ème degré

[invitec18871ef]

Bonjour,

Je bloque sur la factorisation du polynôme de 6ème degré que voici :

P = X⁶ - X⁵ + X⁴ - X³ + X² - X + 1

J'ai commencé par chercher des racines évidentes dans R, puis dans C : 1, -1, i, -i, j, -j...
J'en suis arrivé à la conclusion que ce polynôme n'a pas de racine dans R. (merci octave )
Voici les approximations des racines de P dans C que me fournit octave :
-0.62349 + 0.78183i
-0.62349 - 0.78183i
0.90097 + 0.43388i
0.90097 - 0.43388i
0.22252 + 0.97493i
0.22252 - 0.97493i

Je me demande bien comment j'aurais pu trouver de telles racines...
Y a-t-il une autre astuce pour factoriser ce polynôme?
Sinon comment trouver ces racines, tout droit sorties des abîmes complexes?

Cordialement
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[Médiat]

Bonjour,

Avez-vous essayé de multiplier les deux membres de votre équation par (1 + X) ?

[gg0]

Bonjour.

Autre façon de voir : est une somme de termes en progression géométrique (ça donne le même résultat).

Cordialement.

[invitec18871ef]

Ok, je multiplie les deux membres par ( 1 + x ) et j'obtiens :
( 1 + x ) P = x⁷ + 1

Évidemment x⁷ + 1 se factorise par (1 + x), normal...
A un moment je vais devoir me débarrasser du facteur (1 + x) introduit.
Je ne vois pas où tu veux en venir Médiat...

Ok gg0, bien vu, j'ai donc une somme des 7 premiers termes de la suite géométrique de premier terme valant 1 et de raison -X
Ainsi je peux écrire :
(X - 1) P = (-X)⁷ - 1 = -(X⁷) - 1

Et là c'est pareil, d'une part je ne vois pas comment factoriser -(X⁷) - 1
Et d'autre part je vais devoir me débarrasser du terme (x - 1).

J'ai l'impression que le court sur les polynômes est rempli d'astuces qui demande une certaine pratique.

Merci à vous.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Ok, je multiplie les deux membres par ( 1 + x ) et j'obtiens :
( 1 + x ) P = x⁷ + 1

Évidemment x⁷ + 1 se factorise par (1 + x), normal...
A un moment je vais devoir me débarrasser du facteur (1 + x) introduit.

se résout très facilement dans (sous forme trigonométrique ou exponentielle), et effectivement parmi les 7 racines, il y en a une introduite par la multiplication par et qu'il faut éliminer

[invitec18871ef]

D'accord je comprends!

Donc de manière générale je peux multiplier mon polynôme par un autre polynôme dont je connais les racines, ici x + 1, dans le but d'en obtenir un plus simple dont je peux trouver les racines, enfin le premier polynôme s'écrira dans C comme produits des monômes X - r où r désigne le deuxième ensemble de racines, ici l'ensemble des racines trouvées excepté les racines de x + 1.

C'est super! Merci!

PS : comment faire de jolies écritures comme celle qu'a utilisé gg0?

[Médiat]

D'une façon générale, en cliquant sur "Répondre avec citation", vous avez accès au texte original (qui utilise Latex).

Ici : [TEX]1-X+X^2-X^3+X^4-X^5+X^6[/TEX] donne

[invitec18871ef]

Encore merci.

[invitec18871ef]

Dans l'exercice qui suit j'ai un polynôme un peu barbare dont les coefficients sont très élevés :



Grâce à octave je sais que les racines sont 3 et 2.
Cela n'est pourtant pas évident au premier abord!
Je sais qu'en décomposant le coefficient dominant et le coefficient du monôme constant en facteur et en faisant des fractions
je peux trouver des racines réelles possibles.
Mais tester dans ce cas toutes les valeurs possibles me parait être une tâche laborieuse. Du fait du nombre de possibilités, et surtout des calculs!


Face à ce genre de polynôme, comment dois-je raisonner?
Quel sont les problèmes à se poser?

Bien cordialement.

[acx01b]

tu sais faire la division euclidienne des polynômes (donc ici diviser S par (x-2) puis le résultat par (x-3)) ?

[invitec18871ef]

Ben oui mais non. Je n'ai pu su trouver les racines tout seul -> je me suis servi du programme octave.
Ce serait trop facile maintenant.

Comment réagir face à un gros polynôme de ce genre et dont les racines ne sont pas si évidentes que cela?

[invitec18871ef]

Lorsqu'on parle de racines évidentes ça comprend le 2 et le 3, autant pour moi...
Ca y est les polynômes n'ont plus de secret pour moi!

Merci!