Maximisation de fonction et dérivée

[invite401d81e9]

Bonjour à tous,

Je cherche la valeur de a qui maximise la fonction suivante (b étant une constante supérieure ou égale à a) : f(a) = 1 + ((b-a)/(a+1))(H_b - H_(b-a))
Ici a et b sont des entiers, et H_x est le x-ème nombre harmonique (1+ 1/2 + 1/3 + ... + 1/x)

Je pensais dériver cette fonction, puis regarder quand elle s'annule pour trouver le maximum. Cependant j'ai deux problèmes :
1) tout d'abord je n'arrive pas à trouver la dérivée de H_(b-a) ?
2) si j'obtiens une dérivée qui n'est pas un polynôme, comment trouver la valeur de a qui annule cette dérivée ?

J'ai oublié pas mal de mes cours de maths sur les dérivées, et malgré mes recherches sur internet je suis perdue, merci pour votre aide !

Neoda
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[gg0]

Bonjour.

A vue de nez, a et b sont des entiers, donc difficile de parler de dérivée.
Par contre tu peux étudier le sens de variation de la suite f(a), en regardant f(a+1)-f(a). j'ai eu l'impression qu'elle est décroissante.

Cordialement.

[invite401d81e9]

Bonjour,

J'ai codé cette fonction pour des valeurs de b allant de 2 à 30 (ou plus). La valeur de a qui maximise f(a) est 1 quand b est inférieur à 4, puis c'est 2 pour quelques valeurs de b, puis 3, etc. ce que je cherche c'est une formule (qui dépend de b) qui me donne pour tout b la valeur de a qui maximise f(a).
Je pensais trouver la dérivée de f(a), trouver la valeur a* qui annule cette dérivée, puis dire que l'entier a qui maximise f(a) est soit a valeur entière inférieure de a* soit la valeur entière supérieure de a*.

Merci en tout cas pour votre réponse.
Neoda.

[invite401d81e9]

Re-bonjour,

Pour compléter ma réponse, j'ai trouvé ces valeurs en programmant f(a,b) = 1 + ((b-a)/(a+1))(H_b - H_(b-a))

b=2 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 1 , f(a,b) = 0.250000
b=3 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 1 , f(a,b) = 0.333333
b=4 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 2 , f(a,b) = 0.388889
b=5 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 2 , f(a,b) = 0.450000
b=6 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 2 , f(a,b) = 0.488889
b=7 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 2 , f(a,b) = 0.515873
b=8 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 3 , f(a,b) = 0.543155
b=9 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 3 , f(a,b) = 0.568452
b=10 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 3 , f(a,b) = 0.588194
b=11 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 3 , f(a,b) = 0.604040
b=12 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 3 , f(a,b) = 0.617045
b=13 , valeur de a qui maximise f(a,b)= 4 , f(a,b) = 0.632097

Merci à ceux qui auraient des pistes pour me permettre de calculer la valeur de a qui maximise f(a,b), b étant fixé !

Bonne journée à tous,
Neoda.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

As-tu étudié le sens de variation de la suite des f(a,b) (pour b fixé) ?

Je ne vois pas d'autre méthode (l'idée de dérivée n'a pas de sens pour des fonctions d'entiers).

Cordialement.

NB : tu as oublié le 1 dans tes valeurs de f(a,b)

[Paraboloide_Hyperbolique]

J'ai codé cette fonction pour des valeurs de b allant de 2 à 30 (ou plus). La valeur de a qui maximise f(a) est 1 quand b est inférieur à 4, puis c'est 2 pour quelques valeurs de b, puis 3, etc. ce que je cherche c'est une formule (qui dépend de b) qui me donne pour tout b la valeur de a qui maximise f(a).
Je pensais trouver la dérivée de f(a), trouver la valeur a* qui annule cette dérivée, puis dire que l'entier a qui maximise f(a) est soit a valeur entière inférieure de a* soit la valeur entière supérieure de a*.

Bonsoir,

Votre idée n'est pas si mauvaise que ça. C'est en gros ce que l'on fait en programmation non-linéaire à variables mixtes (Mixed Integer Non-Linear Programming - MINLP).

Vous trouverez de la documentation sur le sujet ici: http://wiki.mcs.anl.gov/leyffer/inde...r%27s_Lectures

[invite401d81e9]

J'ai commencé par étudier le sens de variation de la suite expérimentalement, où l'on voit que f(a,b), avec b fixé, augmente jusqu'à une certaine valeur, puis diminue.

Merci pour ta suggestion d'étudier f(a+1)-f(a), pour b fixé, je n'y avais pas pensé... Par contre je trouve que f est décroissante si H_b - H_(b-a)>= - (a+2)/(b-1), ce qui est toujours vrai (puisque a et b sont positifs). Cela n'est pas cohérent par rapport aux expérimentations, j'ai du faire une erreur, je vais vérifier mes calculs...

As-tu étudié le sens de variation de la suite des f(a,b) (pour b fixé) ?

Je ne vois pas d'autre méthode (l'idée de dérivée n'a pas de sens pour des fonctions d'entiers).

Cordialement.

NB : tu as oublié le 1 dans tes valeurs de f(a,b)

[invite401d81e9]

Merci pour ce lien. J'ai un peu regardé ce que sont les MINLP, mais d'après ce que j'ai pu voir, cela permet de trouver les valeurs optimales à un programme (ou une formule comme la mienne), mais une fois une instance (ici un b) donné ? Ce que j'aimerais c'est avoir une formule qui dépende de b et qui me donne la valeur de a qui maximise la fonction. En fait, ce que je cherche vraiment c'est même la valeur f(a,b) maximale, b étant fixé, cette valeur dépendant de b. Je pensais d'abord trouver la valeur a* de a qui maximise f(a,b) puis calculer f(a*,b)...

Merci en tout cas pour votre aide !

Bonsoir,

Votre idée n'est pas si mauvaise que ça. C'est en gros ce que l'on fait en programmation non-linéaire à variables mixtes (Mixed Integer Non-Linear Programming - MINLP).

Vous trouverez de la documentation sur le sujet ici: http://wiki.mcs.anl.gov/leyffer/inde...r%27s_Lectures

[invite401d81e9]

Bonjour,

As-tu étudié le sens de variation de la suite des f(a,b) (pour b fixé) ?

Après calcul, je trouve que, pour b fixé, f(a,b) est décroissante si H_m - H_(m-(k+1)) >= (k+2)/(m+1).
Par contre, je ne vois pas trop comment je peux trouver la valeur maximum de cette suite... Existe-t-il une technique particulière pour connaître la valeur maximum d'une suite ?

Je ne vois pas d'autre méthode (l'idée de dérivée n'a pas de sens pour des fonctions d'entiers).

J'ai téléchargé la version d'essai de mathematica, et ai codé ma fonction. Par exemple, pour b=30, j'obtiens cela : a30.pdf

La valeur que je souhaite obtenir est le maximum de f(a,b), pour a entier. Comme la fonction a un unique maximum, disons f*, obtenue pour a* (i.e. f(a*,b)=f*), je sais que la valeur que je recherche est f(valeur entrière inférieure de a*) ou f(valeur entière supérieure du de a*). par contre je ne connais pas a*, n'arrivant pas à calculer la dérivée...