Determination d'une équation caractéristique

[invite78409a5f]

Salut à tous! J'ai un soucis en maths, et plus précisément dans les équations différentielles:

On suppose que la fonction g est de la forme g(x) = P(x)e^rx où P est un polynôme de degré n et r un réel ou un complexe. Alors, il y a une solution de l’équation y'+by=g(x) de la forme Q(x)e^rx où Q est un polynôme de degré n si r n’est pas racine de l’équation caractéristique, de degré n+1 si r en est racine simple.

En fait je n'arrive pas à démontrer cela, et dés la rédaction de l'équation caractéristique est- ce que c'est:

Q'(x)+Q(x)(a+b)=0 ou Q'(x)+Q(x)(a+b)=P(x)
Donc X+a+b=0 ou X+a+b=1

Sinon je ne vois pas comment démontrer la propriété énoncé plus haut.... merci de votre aide!
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[gg0]

Bonjour.

Je ne vois pas trop ce dont tu parles, il n'y a pas de a dans le problème de départ.
Mais si tu traduisais "Q(x)e^rx est une solution de l’équation y'+by=P(x)e^rx ", tu trouverais immédiatement une condition à traiter (rappel e^rx n'est jamais nul).

Bon travail !

[invite78409a5f]

Je me suis trompé en écrivant et n'ai même pas remarqué en me relisant... Mes a sont censés être des r en fait désolé pour la confusion.
Sinon j'ai déjà essayé d'utiliser Q(x)exp(rx) comme solution de l'équation mais ça me donne justement Q'(t)+(r+b)Q(x)=P(x), je ne vois pas comment le fait que r soit solution où pas de l'équation caractéristique m'informe sur le degré de Q.

[gg0]

Combien vaut r ? Donc si r est solution de l'équation caractéristique, tu tombes sur ...
Et sinon, en appelant m le degré de Q, on trouve ...

"... je ne vois pas .." : les conclusions se "voient" en traduisant complétement les hypothèses ...

Cordialement.

NB : C'est Q'(x) dans Q'(t)+(r+b)Q(x)=P(x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78409a5f]

Ca me donne r=(P(x)-Q'(x))/Q(x)-b

et l'équation caractéristique est X+r+b=0
si r est solution alors 2r=-b
Donc (P(x)-Q'(x))/Q(x)-b=0
D'où Q(x)=(P(x)-Q'(x))/b cependant je n'y vois toujours pas plus clair!

[gg0]

Il faut tout reprendre à la base :
L'équation caractéristique de y'+by=g(x) est r+b=0 qui a pour solution r=-b (Où donc es-tu allé chercher ce 2r=-b ?)
Donc si r=-b, en remplaçant dans l'équation on obtient Q'(x)=P(x) d'où ...
Et si r est différent de -b, Q'(x)+(r+b)Q(x) est de degré ...

Ton premier calcul "r=(P(x)-Q'(x))/Q(x)-b" n'a rien à voir avec la question que je posais, et l'équation caractéristique n'a rien à voir avec ce qu'on peut trouver dans un cours ou un livre ... A quoi joues-tu ?

Cordialement.

[invite78409a5f]

Merci pour ta réponse j'ai compris.
Sinon je ne joue à rien, je n'avais juste pas saisi le principe.