Analyse complexe - exprimer une fonction dans un domaine

[invitef02426d6]

Bonjour,
Je suis en train de réviser pour mon examen en résolvant ceux des années passées et il y a un exercice ( qui avait compter pour 20%) que je ne comprends pas du tout en plus du fait que j'ai de la difficulté avec ce cours:

Soit f: D->C (C: ensemble des complexes) est holomorphe, où D est un domaine et zo est à l'intérieur de D.
a. donnez une forme permettant d'écrire f à l'interieur d'un cercle assez petit centré en zo
b. Exprimer 1/z à zo=1 en cette forme

Merci bien !
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[taladris]

Pour moi, la question est beaucoup trop vague. Il faut peut-etre ecrire la formule de Cauchy ou bien f comme une serie entiere.

As-tu la solution de l'an dernier? Y-a-t'il des questions apres a et b qui pourraient eclairer sur ce que veut ton prof?

[invitef02426d6]

Malheureusement non, c'est tout ce que comporte l'exercice et je n'ai pas le solutionnaire non plus !

[alebot]

Bonjour,

Je pense qu'il faut appliquer la formule de Cauchy à f sur un cercle centré en z₀ et assez petit pour qu'il soit inclus dans D. Pour b) il suffit d'appliquer la formule à la fonction f(z)=1/z holomorphe au voisinage de 1.

Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

Tout d'abord, l'intérieur d'un cercle est vide : je ne peux donc pas «écrire f à l'interieur d'un cercle assez petit centré en z₀».

Je traduis donc par «écrire f à l'interieur d'un disque limité par un cercle assez petit centré en z₀».

La formule de Cauchy donne la seule valeur en un point en fonction des valeurs sur un chemin entourant ce point, point n'est besoin que ce chemin soit circulaire.
Du coup, dans la deuxième question, je ne vois pas l'intérêt de calculer 1/z à l'aide d'une intégrale sur un cercle centré en 1 et de rayon suffisamment grand pour englober z, mais suffisammant petit pour ne pas englober 0.

Je pense donc que la première question porte sur le développement en série entière suivant les puissances de (z-z₀), et que la deuxième question demande simplement d'exprimer 1/z géométriquement en fonction des (z-1)ⁿ.

Cet exercice est finalement très mal formulé. Y a-t-il d'autres questions qui permettraient peut-être de trancher.

[topmath]

Bonjour à tous :

Si f est une fonction à variable complexe définie dans un ouvert appelé domaine de définition , et si est holomorphe à l’intérieur de privé du point (trous sur ce domaine ), alors je généralise ce que viens de répondre God's Breath ou une extension de la série entière, alors est développable en série de Laurent.

Cordialement

[invitef02426d6]

Désolée pour la formulation, ça a été rédigé dans un français très approximatif puisque le prof n'est pas entièrement francophone... Et il n'y a aucune autre question

[invite57a1e779]

S'exprimer de façon approximative est la pire des choses dans un discours scientifique.

[topmath]

Bonsoir à tous :

Pour la question b. Exprimer 1/z à zo=1 en cette forme :

Oui c'est très mal formuler si est holomorphe dans un domaine multi-connexe , représente une singularité en , à mon avis et peut être la question est la suivante :
-Étudier la convergence de dans la couronne ?

Cordialement

[invite57a1e779]

Certainement pas, il n'est pas question de choses centrées en 0, mais d'un cercle centré en z₀, et qui plus est un cercle «assez petit».
Il s'agit visiblement d'une étude au voisinage du point z₀ intérieur au domaine d'holomorphie ; il n'est donc pas du tout question de convergence dans une couronne, ni de séries de Laurent dans cet exercice.

[topmath]

Bonsoir à tous :

Certainement pas, il n'est pas question de choses centrées en 0, mais d'un cercle centré en z₀, et qui plus est un cercle «assez petit».
Il s'agit visiblement d'une étude au voisinage du point z₀ intérieur au domaine d'holomorphie ; il n'est donc pas du tout question de convergence dans une couronne, ni de séries de Laurent dans cet exercice.

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@God's Breath: Est que représente cette étude au voisinage du point SVP ?

Cordialement

[invite57a1e779]

Comme l'a dit taladris dans la première réponse : la formule de Cauchy ou un développement en série entière.

[topmath]

Merci God's Breath pour ces détailles , moi aussi j'opte pour cette proposition n'est aux moins pour plus de précision on peut aussi développez en série de Laurent , si cette dernières est centré en (ma propre remarque ).

Cordialement

[invitef02426d6]

Ca serait donc de juste écrire la formule générale de cauchy pour la question a ?

Merci pour vos réponses !

[topmath]

Bonsoir :

Ca serait donc de juste écrire la formule générale de cauchy pour la question a ?

Merci pour vos réponses !

Autre remarque pour l'utilisation de la formule de Cauchy, dans l'énoncé le contour incluant n'est pas définie dans l'énoncer pour cette raison taladris à évoquer je cite

Pour moi, la question est beaucoup trop vague. Il faut peut-etre ecrire la formule de Cauchy ou bien f comme une serie entiere.

à mon avis la deuxième proposition est mieux .

Cordialement

[ansset]

prise simplement, je ne trouve pas l'énoncé spécialement tordu.
développement ( très probablement ) car indéfiniment dérivable ( et en plus c'est fait pour les points au voisinage d'un point fixe )
faut peut être pas chercher compliqué.

Et je ne comprend pas de quel domaine incluant D tu parles ?

[topmath]

Bonjour à tous :

@ansset :

prise simplement, je ne trouve pas l'énoncé spécialement tordu.
développement ( très probablement ) car indéfiniment dérivable ( et en plus c'est fait pour les points au voisinage d'un point fixe )
faut peut être pas chercher compliqué.

Et je ne comprend pas de quel domaine incluant D tu parles ?

mais mois j'ai pas dit ça dans mon message 15 relit bien j'ai dit le contour incluant

Bonsoir : Autre remarque pour l'utilisation de la formule de Cauchy, dans l'énoncé le contour incluant n'est pas définie dans l'énoncer pour cette raison taladris à évoquer je cite à mon avis la deuxième proposition est mieux .

Cordialement

Donc c'est pareil .

Cordialement

[ansset]

ok, mal lu, désolé.
cordialement.