Dérivabilité maths sup

[invitebea1b8f3]

Bonjour, voilà j'ai un petit exo de mathématiques et je suis bloquée pour deux questions
voici le sujet :

Soit u0 appartenant a R on défini (Un) par : Un+1 = (expUn)/(exp(Un) + 1)


J'ai déjà montré que pour tout n entier naturel différents de 0, Un appartient à [0;1]

je dois désormais montrer qu'il existe un unique point fixe a donc que : (exp(a))/(exp(a) + 1) = a et qu'on a, a appartenant à ]0;1[
Puis ensuite il faut montrer que pour tout n, |Un+1 - a| <= 1/4 |Un - a|

Ayant retourné le sujet dans tout les sens je ne vois pas comment montrer l'unicité de a, je pensais avec un TVI mais j'arrive pas à conclure :/

Merci d'avance pour vos réponses !
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

En général, pour étudier le nombre de solutions d'une équation de la forme f(a)=g(a), on étudie la fonction f-g.

[invitebea1b8f3]

Merci beaucoup de votre réponse,

j'ai étudié f(x)-x et donc j'ai conclu avec le TVI et pour l'unicité, cela suffit de dire que f'(x)-1 est strictement négative, et donc que la fonction f(x)-x est strictement décroissante et ainsi conclure que ce point fixe est unique ? ou cela est insuffisant ?

[ansset]

pour moi oui ! ( suffisant la fct étant continue et dérivable)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebea1b8f3]

D'accord ! Merci beaucoup !
Quant à la seconde question, vous avez une idée ? Je pensais montrer qu'elle est 1/4 lipschitzienne mais je n'y arrive pas :/ car sans U0 ni d'indications sur la croissance de la suite j'ai du mal a voir..

[invite57a1e779]

Indication : .

[invitebea1b8f3]

Oui justement, avec cela si f etait 1/4 lipschitzienne il suffirait de dire | f(Un)-f(a) | <= 1/4 | Un-a| et donc que |Un+1 -a |< 1/4 |Un-a| mais j'arrive pas a montrer qu'elle l'est. Enfin a part si cela était pour montrer qu'elle est lipschitzienne dans ce cas veuillez m'excuser de mon incompréhension

[invite57a1e779]

Théorème des accroissements finis ?

[ansset]

oui la fonction est lipschitzienne, mais le 1/4 ?
sinon, en sus de la remarque de God Breath tu peux remarquer que f(0)=1/2 et f(1)=e/(e+1)<3/4 , et f strictement décroissante.

[invitebea1b8f3]

Oui cela doit etre avec le taux d'accroissement, c'est au coeur du chapitre qu'on étudie, j'arrive toujours pas a trouver le 1/4 mais en m'y penchant un peu plus je pense le trouver !

Merci beaucoup pour toute vos réponses et votre aide, je ne vous embête pas plus !

Je vous souhaite une très bonne soirée à vous deux. Et merci encore

[ansset]

pardon pour f ( confondu avec f(x)-1 )

[invitebea1b8f3]

Pas de problème.

[ansset]

en fait elle est bien strictement décroissante avec
-1/4<=f'(x)<=-1/(e+1)² ( les valeurs extrèmes correspondent à 0 et 1

[invitebea1b8f3]

Personnellement je trouve e/(e+1)²<=f'(x)<=1/4
en prenant f(x) = e^x/(e^x + 1)
Enfin peu importe le principe est le même, une IAF et tout se fait tout seul merci beaucoup pour toute votre aide qui m'a bien aidé !

[ansset]

oui, tu as raison, erreur de signe bête.

[invitebea1b8f3]

Aucun problème, merci beaucoup pour tout