Limites et développements limités

[invite7ec123bc]

Bonjour,

Soit une fonction de dans vérifiant les conditions suivantes :

f est continue sur

et

f est dérivable deux fois en 0 et et

1) Montrer que . On posera (avec )

2) Déterminer pour tout réel t et

1) f admet un maximum local en 0. Donc .

2) Je trouve ici et

Je suis passé par un développement limité de l'exponentielle pour trouver ce résultat, mais je ne suis pas sûr que ça soit licite car f peut être de signe négatif au voisinage de 0 (l'énoncé dit de faire attention au fait que f peut ne pas être de signe constant), ce qui entraînerait que n'est pas défini car le logarithme n'est pas défini sur .

Auriez-vous une autre méthode?

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

f étant continue et strictement positive en 0 est strictement positive sur un voisinage de 0, donc dans un intervalle ]a,b[ contenant 0. En ne prenant que les n pour lesquels t/n est dans cet intervalle, on n'a pas de souci.

Cordialement.

[invite7ec123bc]

Merci gg0.