singularités isolées d'une fonction

[invited17825bc]

Bonsoir,

Soit f(z) = z^2/(cos z - 1) , z complexe

Les singularités isolées de f sont tous les multiples entiers de 2pi (k2pi, avec k dans Z).

Pourriez-vous bien me confirmer que 0 est une singularité apparente, et que les autres points sont des singularités de type pôle.

Pour ce qui concerne les singularités de type pôle, il m'est demandé de trouver les termes du développement en série de Laurent (uniquement ceux faisant apparaitre du 1/((z-zk)^n) où zk est la singularité) autour de chacune de ces singularités. Je ne vois pas trop comment m'y prendre...

Merci d'avance pour votre aide
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[invite57a1e779]

En 0, il y a bien une singularité apparente. Au pôle (), il suffit d'écrire :



et de se ramener à la singularité apparente en 0 pour obtenir le développement en série de Laurent.

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :Oui en peut directement développer en série de Laurent aux voisinage de la singularité si bien entendue .

Cordialement

[invited17825bc]

Merci pour vos réponses.

Ma question est maintenant: comment développer cette fonction en série de Laurent en 0? Je connais le développement en série de cosinus, mais se trouvant au dénominateur, ça m'ennuie un peu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous :
Premièrement faut mettre le quotient de c-a-d sous forme d'une série géométrique puit donnée son développement en multipliant ensuite par ;

Cordialement

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous si le développement en en à besoin du développement en série de Maclaurin :

on posant faut pas oublier que à mon avis utiliser que les trois premiers termes .

cos z = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ...

Cordialement