bonjour tout le monde
voici mon problème; sa fait un bon moment que j cherche si l’équation suivantepossède une solution analytique,sachant que delta est une amplitude constante et G le gradient de pression constant.
Dans un cas où elle possède une solution analytique quel méthode utilisé merci
Bonjour.
Si t et y sont bien des variables indépendantes, il y a une solution analytique évidente : U=Gt+U0.
J'ai simplement pris U indépendant de y.
Cordialement.
u dépend de y et t
la solution que vous aviez suggérer U0 c quoi ?
Ben .. une constante.
Il y a sans doute bien d'autres solutions, mais tu en demandais une, j'ai un peu joué sur les mots. J'ai remarqué une solution évidente, pour des dérivées partielles par rapport à y nulles. Pour une résolution générale, attendons un spécialiste des équations aux dérivées partielles, ce que je ne suis pas.
Mais du coup, je vois qu'en posant U=V(y,t)+Gt on obtient une équation plus simple en V.
Cordialement.
Bonjour,
on peut essayer la méthode de séparation des variables (page jointe)
Merci JJ,
d'avoir donné une réponse. J'y retrouve mon Gt (avec le signe - que je n'avais pas remarqué dans l'équation initiale).
Cordialement.
merci énormément de votre aide si précieux je tacherai de tracer le profil de vitesse de cette solution pour s'assurer de sa validité et je vous mes au courrant
merci beaucoup pour ta réponse rapide en faite comme condition au limite j'ai U(-1,t)=0 et U(1,t)=0 c suffisant ?
si oui sa donnera quoi comme résultat complexe ou reel ?
merci encore pour ton aide
Non, c'est très insuffisant pour que l'on ait une solution bien déterminée.
D'abord, fixer seulement U(-1,t)=0 et U(1,t)=0 ne dit pas quel est le domaine dans lequel on cherche une solution (t est compris entre quoi et quoi ? y est compris entre quoi et quoi ?)
Mais il manque surtout les conditions initiales U(y, 0)=quelle fonction de y ? (ou une autre condition pour une valeur de t donnée).
De plus, tout cela ne garantit pas que l'on puisse donner formellement une solution, ni sous quelle forme. J'en ai donné un exemple. Mais il se peut que, sous cette forme, le calcul des paramètres soit ensuite extrêmement difficile. Selon les conditions aux limites, il pourrait (ou non) être plus avantageux d'exprimer la solution sous forme de série de Fourier par exemple.
Il ne faut pas oublier que trouver des solutions générales sans fixer de condition aux limites est la partie très facile du travail. Ensuite, rendre compatible avec des conditions aux limites imposées est généralement beaucoup plus ardu (sauf dans les cas d'école ! ). Si ce n'est pas un exercice scolaire, mieux vaut le traiter avec une méthode de calcul numérique.
oui c'est c que je pensais en faite ce problème c un écoulement dans un canal poreux avec injection bref le domaine est [-1,1] et à t=0 on a U=0
j'ai traité le problème numériquement en utilisant la méthode spectral mais il me faut impérativement la solution analytique j'ai pensé a injecter les deux conditions aux limites dans la solution que vous m'aviez suggérer et utiliser maple pour résoudre le système mais votre réponse me laisse perplexe
Le problème est bien défini avec les conditions U(-1,t)=0 , U(1,t)=0 et U(0,t)=0.
La solution générale présentée sous forme de sommes d'exponentielles n'est pratiquement pas utilisable dans le cas présent car le calcul des paramètres ck et Ck devient extrêmement compliqué.
En posant ck=i*ak avec ak réel, la solution générale devient une somme de fonctions Ck*sin(ak*y+ak*D*sin(w*t)/w)*exp(-ak2t/R) et idem avec cos(...).
Mais le calcul des coefficients Ck pour satisfaire les conditions reste presque aussi compliqué, donc probablement inaccessible en pratique.
Cette forme avec les termes trigonométriques est probablement proche (ou la même) que si l'on avait fait la recherche par la méthode des séries de Fourier. Il y a peu d'espoir de ce coté là.
On peut aussi penser à la méthode de résolution par la transformation de Laplace. Le calcul est relativement simple jusqu'au moment où l'on doit effectuer la transformation de Laplace inverse pour revenir à la fonction U(y,t) recherchée. Malheureusement, la transformée inverse ne semble pas connue (ni dans les tables à ma disposition, ni par calcul symbolique de WolframAlpha).
En conséquence, je suis enclin à penser que ce problème n'a pas de solution analytique connue et/ou demanderait des fonctions spéciales non répertoriées actuellement. Je crains qu'il faille en rester à des méthodes de Physiciens (calcul numérique, et/ou formules semi-empiriques approximatives). C'est mon opinion sur la base d'une évaluation peu approfondie, donc qui pourrait s'avérer trop pessimiste. En ce qui me concerne, mes disponibilités ne me permettent pas de passer plus de temps sur ce problème.
Bonne continuation et bonne réussite dans votre projet.
