Intégrale de Lebesgue

[invitecb0afd71]

Bonjour,

Voilà j'écris ici car je suis complètement désespérée : nous avons fait un cours sur les intégrales de Lebesgue et je n'ai absolument rien compris.
À vrai dire je ne comprends pas la différence entre une intégrale de Riemann et une intégrale de Lebesgue. La seule notion que j'ai assimilée est qu'une intégration au sens de Riemann peut présenter des limites et que l'on doit passer par une intégrale de Lebesgue pour pouvoir y passer outre, et qu'une intégrale au sens de Riemann est intégrable au sens de Lebesgue mais que la réciproque est fausse. Pourtant les méthodes de calculs me paraissent semblables...

Voilà, merci de m'éclairer...
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[inviteb3412e7c]

La différence entre les deux théorie est que l'intégrale au sens de Riemann se fait à partir des fonctions en escaliers, tandis que l'intégrale au sens de Lebesgue se fait à partir des fonctions étagées.

En fait, qu’est-ce qui se passe, dans l'intégration de Riemann on découpe l'axe des abscisses pour construire les fonctions en escalier. Mais dans l'intégration selon Lebesgue, on découpe l'axe des ordonnées, et ensuite on découpe l'axe des abscisses en fonction des images réciproques des intervalles des ordonnées. On obtient des ensembles qui ne sont pas en général des intervalles, et à partir desquels on construit les fonctions étagées.

Après tu as raison, les deux principes sont très proches. On approche une fonction par une suite de fonctions dont on connait la valeur de l'intégrale et par passage au sup des fonctions qui approchent f par des valeurs inférieures et à l'inf des fonctions qui approchent f par des valeurs supérieures, on obtient la valeur de l'intégrale de f. Même s'il faut faire attention, dans l'intégrale selon Lebesgue, que comme les intervalles des fonctions étagées peuvent être quelconques, il faut donc pouvoir leur donner une mesure pour déterminer la valeur de leur intégrale.

[invitecb0afd71]

Merci beaucoup pour votre message, ça m'aide déjà à y voir plus clair !
Alors si j'ai bien compris, on découpe l'axe des ordonnées sur un intervalle J, comme on découpe l'axe des abscisses sur un intervalle I, puis on retrouve un intervalle I', "antécédent" de J par la fonction f, et on intègre notre fonction suivant Riemann sur notre nouvel intervalle, c'est bien ça ?

[inviteea028771]

Merci beaucoup pour votre message, ça m'aide déjà à y voir plus clair !
Alors si j'ai bien compris, on découpe l'axe des ordonnées sur un intervalle J, comme on découpe l'axe des abscisses sur un intervalle I, puis on retrouve un intervalle I', "antécédent" de J par la fonction f, et on intègre notre fonction suivant Riemann sur notre nouvel intervalle, c'est bien ça ?

Non.

L'idée, c'est d'approcher la fonction à intégrer par des plateaux (en rouge dans ce schéma) au lieu de "colonnes" (en bleu, la méthode de Riemann):

http://en.wikipedia.org/wiki/File:RandLintegrals.png

La raison est assez simple : beaucoup plus de fonctions sont limites de fonctions en plateau que de fonctions en colonnes. Par exemple la fonction qui faut 1 sur les rationnels et 0 sur les rationnels est déjà une fonction étagée (en plateau), alors qu'elle n'est pas limite d'une suite de fonctions "en colonnes"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb0afd71]

J'avais saisi le concept plateaux/colonnes, seulement calculatoirement parlant, je ne vois pas comment procéder...

[inviteb3412e7c]

Merci beaucoup pour votre message, ça m'aide déjà à y voir plus clair !
Alors si j'ai bien compris, on découpe l'axe des ordonnées sur un intervalle J, comme on découpe l'axe des abscisses sur un intervalle I, puis on retrouve un intervalle I', "antécédent" de J par la fonction f, et on intègre notre fonction suivant Riemann sur notre nouvel intervalle, c'est bien ça ?

C'est un peu ça sauf que l'antécédent d'un intervalle pour une fonction n'est pas généralement un intervalle. Et que la méthode selon Riemann diffère de celle selon Lebesgue car on doit utiliser une mesure.

Comme le dit Tryss, l'intérêt est d'intégrer des fonctions qui ne sont pas continues, mais dont les antécédent des intervalles appartiennent à une tribu mesurable.

[invitecb0afd71]

Ah oui ! C'est plus clair maintenant, merci beaucoup !!!

[inviteea028771]

J'avais saisi le concept plateaux/colonnes, seulement calculatoirement parlant, je ne vois pas comment procéder...

Procéder pour faire quoi?

Tu peux écrire une fonction étagée comme une somme (pondérée) d'indicatrices : , et alors l'intégrale de lebesgue par rapport à la mesure µ de f est simplement :




Et pour calculer une intégrale d'une fonction mesurable avec juste cette définition, il suffit de trouver une suite de fonctions étagées qui convergent vers cette fonction. L'intégrale de la fonction serra alors la limite des intégrales des fonctions étagées