Différence entre un morphisme de groupes et une application linéaire ?

[Maou]

Bonsoir

Un morphisme de (E, *) dans (F, #) avec * et # deux lois de communication internes c'est une application f telle que
f(x*y)= f(x)#f(y)

Pour parler de morphismes, E et F sont-ils nécessairement des groupes ?

Parler parler d'une application linéaire de E dans F, il s'agit d'espaces vectoriels ?
Et si on a (E, + , .) et (F , o , *) avec + et o des LCI et . et * des lce, on peut définir une application linéaire allant d'un EV dans l'autre ? Est- ce que les lois de compositions doivent être les mêmes ?


Merci, car je suis un peu perdue
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[Tryss]

Un morphisme est une application qui conserve la structure, et il existe d'autres morphismes que les morphismes de groupes : Une application linéaire est un morphisme d'espace vectoriels, mais on a aussi des morphismes d'anneau, des morphismes de corps, des morphismes d'algèbres, etc...

Et on peut parfaitement définir des applications linéaires qui vont d'un espace vectoriel dans un autre munis de lois complétement différentes, tout comme un morphisme de groupe peut aller d'un groupe vers un groupe totalement différent

[Maou]

Merci c'était parfaitement clair

[PlaneteF]

Bonsoir, ... Juste comme petit complément au message de Tryss, d'une manière plus générale une application linéaire est un morphisme de A-modules (A étant un anneau).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Bonjour , dans le livre d'introduction à l'algèbre de A.Kostrikin , il a utilisé la définition :
deux groupes G et G' munis d'opérations . et * sont dits isomorphes s'il existe une application f :G--->G' telle que :
f(a.b)=f(a)*f(b)
ET
f est bijective.

[Médiat]

Bonjour , dans le livre d'introduction à l'algèbre de A.Kostrikin , il a utilisé la définition :
deux groupes G et G' munis d'opérations . et * sont dits isomorphes s'il existe une application f :G--->G' telle que :
f(a.b)=f(a)*f(b)
ET
f est bijective.

Bonjour,

L'addition de "et f est bijective" vient de ce que c'est la définition d'un isomorphisme et non d'un morphisme (plus général)

[azizovsky]

Bonjour,

L'addition de "et f est bijective" vient de ce que c'est la définition d'un isomorphisme et non d'un morphisme (plus général)

Bonjour , oui ,ce n'est q'une autre écriture de la définition :deux groupes G et G' munis d'opérations . et * sont dits isomorphes.... .
Une application f possédant la première propriété est dite additive, mais sans,la relationd' homogèneité qui définissent une application linéaire.

[Médiat]

Bonjour , oui ,ce n'est q'une autre écriture de la définition :deux groupes G et G' munis d'opérations . et * sont dits isomorphes.... .

Attention, morphisme et isomorphisme ne sont pas des synonymes.

[azizovsky]

Attention, morphisme et isomorphisme ne sont pas des synonymes.

oui , l'iso et endo et l'auto-morphismes ne sont que des cas de morphisme sous certaines conditions .....

Merci Médiat pour les précisions .

[azizovsky]

Bonjour , dans le livre d'introduction à l'algèbre de A.Kostrikin , il a utilisé la définition :
deux groupes G et G' munis d'opérations . et * sont dits isomorphes s'il existe une application f :G--->G' telle que :
f(a.b)=f(a)*f(b)
ET
f est bijective.

Bonjour , la même définition sans 2ème condition définie un HOMOMORPHISME .

[Médiat]

Bonjour , la même définition sans 2ème condition définie un HOMOMORPHISME .

Ce qui est normal puisque morphisme = homomorphisme.

[azizovsky]

Ce qui est normal puisque morphisme = homomorphisme.

Merci Médiat , moi , j'ai fait un peu de la théorie des groupes ,corps , anneaux .... en arabe en bac(sc maths) ,puis en français à l'université , ce qui me pousse à donner à chaque mot dans les définitions , son importance .

[azizovsky]

Salut , dans le livre que j'ai mentionné ,il est écrit à la page 151 :
il y'a lieu de signaler que les termes de surjection ,d'injection et de bijection employés relativement aux applications des ensembles quels qu'ils soient (non munis de loi de composition) sont remplacés dans les cas des groupes (et d'autre structures algébriques) respectivement par les termes d'épimophismes (homomorphismes "sur"),de monomorphisme (homomorphisme à noyau unité) et d'isomorphisme (homomorphisme bijectif,càd épimorphisme et monomorphisme à la fois).
la tendance actuelle est au remplacement de l'homomorphisme par le terme morphisme .il est utile d'avoir en vue ces conventions terminologiques lors de la lecture des ouvrages mathématiques.....

[Médiat]

Ce vocabulaire est correct, à un détail près : l'expression "à noyau unité" pour le monomorphisme n'a pas de sens pour les structures munies de relations uniquement (relation d'ordre par exemple), et pas claire pour les structures munies de plusieurs éléments neutres (avec plusieurs LCI), tant qu'à faire (homomorphisme injectif ne me gêne pas) je préfère la définition catégorique : homomorphisme simplifiable à gauche (et donc à droite pour les épimorphismes).

[azizovsky]

Salut ,en tous cas ,merci pour les précisions .