Continuité, topologie et métrique

[arttle]

Bonjour,

Il y a quelque chose que je ne comprends pas très bien.

La continuité d'une fonction en un point est une notion topologique. La limite des images d'une fonction est une notion métrique. Et j'ai cru comprendre que pour une même topologie métrisable, les limites d'une suite pouvaient être différentes suivant la distance utilisée.

Pourtant on a bien équivalence des deux notions par la caractérisation de la continuité d'une fonction f en un point x_0 par la limite de f en x_0, ce qui semble dire que quelque soit la distance sur l'ensemble d'arrivée, tant qu'elle ne change pas la topologie, elle ne change pas la limite...

Merci de vos réponses.
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[Seirios]

Bonjour,

La continuité séquentielle n'est pas équivalente à la continuité dans un espace topologique quelconque. Ton problème vient certainement de là.

[arttle]

Qu'entendez-vous par continuité séquentielle?

[gg0]

Bonjour Arttle.

La limite des images d'une fonction est une notion métrique.

Non, on peut définir la notion de limite dans tout espace topologique.

Et j'ai cru comprendre que pour une même topologie métrisable, les limites d'une suite pouvaient être différentes suivant la distance utilisée.

Où as-tu vu ça ?
S'il s'agit de distances équivalentes, il n'y a pas de problème.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Qu'entendez-vous par continuité séquentielle?

C'est le critère séquentielle de la continuité utilisé dans les espaces métriques : une fonction est dite séquentiellement continue si, pour toute suite convergeant vers un élément , la suite converge vers .

[arttle]

C'est le critère séquentielle de la continuité utilisé dans les espaces métriques : une fonction est dite séquentiellement continue si, pour toute suite convergeant vers un élément , la suite converge vers .

Dans mon cours la continuité est définie topologiquement, à partir de la notion de voisinage.

Bonjour Arttle.


Non, on peut définir la notion de limite dans tout espace topologique.

Où as-tu vu ça ?
S'il s'agit de distances équivalentes, il n'y a pas de problème.

Cordialement.

Faut-il donc que je comprenne que lorsque les limites définissent des limites différentes alors elles ne sont pas tologiquement équivalentes?

[gg0]

Désolé, Arttle,

mais je ne comprends pas de quoi tu parles.

Si tu as une seule topologie, les limites sont les mêmes. Si tu as des topologies différentes, il peut y avoir des limites dans un cas et pas dans l'autre; la question de "même limite" peut ne même pas se poser.

mais il serait bon que tu éclaircisses tes idées initiales, et qu'on puisse savoir de quoi tu veux parler (espaces métriques, espaces topologiques généraux, ...).

Cordialement.

[arttle]

Merci ggo pour tes remarques.

En fait je partais du principe que la limite était une notion métrique alors que c'est une notion topologique (je viens de vérifier pour en être sûr ^^).

Dans mon premier post, ce que je voulais dire c'est que je regarde une application f de E dans E' avec E et E' des espaces topologiques métrisables. Et ma question était que je trouvais bizarre que toutes les distances sur E' qui respectent sa topologie définissent les mêmes limites. Et par la même, si f est continue si on muni E' de l'une alors f est continue si on muni E' de l'autre.

Mais effectivement comme elles sont topologiquement équivalentes et que la notion de limite est une notion topologique alors les limites sont les mêmes pour les deux distances de E'.

Maintenant je pense comprendre un peu mieux la notion de limite.