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Dérivée successive de racine de x+1



  1. #1
    Alix5

    Dérivée successive de racine de x+1

    Bonjour,

    Je cherche la formule générale des dérivées successives de la fonction . J'ai déjà trouvé une partie de la formule mais il me manqueun morceau :
    ((x+1)1/2)(n)(x) = (-1)n+1(?/2n)(x+1)-(2n-1)/2

    Voilà ! J'espère que vous avez toutes les informations nécessaires ! Merci d'avance

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : Dérivée successive de racine de x+1

    Bonjour,

    Vous avez sans doute remarqué que la suite en question est 1, 1, 3, 15, etc., c'est à dire (2n - 3)!! (double factorielle impaire), je vous laisse le démontrer, c'est évident par récurrence.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    breukin

    Re : Dérivée successive de racine de x+1

    Ne voyez-vous pas apparaître un produit de nombres impairs consécutifs ?
    En multipliant en haut et en bas par les pairs, vous allez faire apparaître des factorielles.

  5. #4
    Alix5

    Re : Dérivée successive de racine de x+1

    Merci j'avais effectivement remarqué la suite 1,1,3,15 mais je ne savais pas que le double factoriel existait.

    Je ne comprends pas comment multiplier en haut et en bas par les nombres pairs va faire apparaître le produit de nombres impairs.
    Dernière modification par Alix5 ; 13/03/2014 à 15h43.

  6. #5
    PA5CAL

    Re : Dérivée successive de racine de x+1

    Bonjour

    Autre présentation, avec des factorielles simples (pour n≥1) :



    soit :


  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PA5CAL

    Re : Dérivée successive de racine de x+1

    En effet, on peut considérer
    • que le produit 1×3×5×7×...×(2n-3) est le rapport entre 1×2×3×4×5×6×7×...×(2n-2) et 2×4×6×...×(2n-2)
    • que 2×4×6×...×(2n-2) = (1×2)×(2×2)×(3×2)×...×((n-1)×2) = 1×2×3×...×(n-1)×2n-1
    Dernière modification par PA5CAL ; 13/03/2014 à 15h53.

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  10. #7
    breukin

    Re : Dérivée successive de racine de x+1

    Vous arrivez bien à (je laisse tomber le x+1 qui ne sert à rien) (pour n>1):


    Vous multipliez en haut et en bas par

    Je ne comprends pas comment multiplier en haut et en bas par les nombres pairs va faire apparaître le produit de nombres impairs
    Ce n'est pas le fait de multiplier en haut et en bas par les nombres pairs qui fait apparaître un produit de nombres impairs !
    C'est la dérivation qui fait apparaître le produit de nombres impairs, et c'est le produit en haut et en bas par les pairs qui permet de faire apparaître des factorielles.
    Dernière modification par breukin ; 13/03/2014 à 15h58.

  11. #8
    Alix5

    Re : Dérivée successive de racine de x+1

    Ah d'accord ! Je crois que j'ai compris.

    Merci beaucoup pour votre aide ! Bonne fin de journée !

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