Espace R ^n et applications linéaires

[invitecffa24f9]

Bonjour,

Je commence de peu le chapitre Algèbre Linéaire et je bloque sur cet exercice:
On considère une application linéaire f non injective de IR⁴ dans IR⁴.

Montrer qu'il existe un vecteur z non nul tel que f(z)=0.
Montrer qu'il existe b appartenant à IR⁴ tel que f(x)=b n'ait pas de solution.

Merci d'avance!
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[Médiat]

Bonjour,

Comment écrivez-vous l'hypothèse que f est non injective ?
Comment écrivez-vous l'hypothèse que f es linéaire ?

Vous répondez à ces deux questions (de cours) et la réponse à la première question devient triviale.

[invite83569f81]

Bonjour !

Par définition, une application linéaire est injective si son noyau est le singleton vecteur nul ! (ici, le vecteur nul est le quadruplet (0,0,0,0))

Donc ici, si ton application n'est pas injective, l'ensemble des z tels que f(z)=0 (0 désigne le vecteur nul) n'est pas réduit au vecteur nul ! Donc il y a forcément au moins un vecteur non nul qui respecte lui aussi f(z)=0 (en plus du vecteur nul, qui lui le respecte tout le temps )

Est-ce que c'est ok déjà pour la première question ?

[Seirios]

Par définition, une application linéaire est injective si son noyau est le singleton vecteur nul ! (ici, le vecteur nul est le quadruplet (0,0,0,0))

Ce n'est pas vraiment une définition, plutôt une propriété. La notion d'injectivité ne s'applique pas seulement aux applications linéaires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ce serait d'ailleurs intéressant pour toi, Lepton, de redémontrer, à partir de la définition générale d'application injective, la propriété que tu évoques (f linéaire injective ssi ker f réduit à 0).

Cordialement.

[invite83569f81]

Ce n'est pas vraiment une définition, plutôt une propriété. La notion d'injectivité ne s'applique pas seulement aux applications linéaires.

Oui c'est vrai pardon, j'aurais du dire : si f est une application linéaire de E dans F (deux K-ev), alors f injective ⇔ Ker(f)={0_E}

Ce serait d'ailleurs intéressant pour toi, Lepton, de redémontrer, à partir de la définition générale d'application injective, la propriété que tu évoques (f linéaire injective ssi ker f réduit à 0).

Cordialement.

Oui effectivement Allez je la refait pour le plaisir :

 Cliquez pour afficher

Soit f une application linéaire de E dans F.

Première implication : supposons f injective. Soit x∈Ker(f), f(x)=O_F=f(O_E) donc x=O_E car f injective. (f(a)=f(b)⇒a=b)

Deuxième implication : Supposons Ker(f)={0_E}, soient a,b ∈ tels que f(a)=f(b). Donc f(a)-f(b)=O_F=f(a-b) car f linéaire, donc a-b ∈ Ker(f). Donc a-b=0_E. Donc a=b. Donc f(a)=f(b)⇒a=b : f est injective

[gg0]

Bien vu !

Cordialement.