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La fonction logarithme népérien...



  1. #1
    soleildz

    La fonction logarithme népérien...


    ------

    salut à toutes et à tous,

    voila ce que je voudrais savoir , sur la fonction citée :

    Pourquoi néper avait limité son ensemble de definition à
    R*+ ?
    comment il a calculer ln(1) ? ...ln(x) ? il n'avait ni la table ni
    la calculette.

    Remarque : la fonction exp est venue aprés !!!

    Bravo1:

    -----

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  3. #2
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Pourquoi la fonction n'est défini que pour x > 0 ?
    Parce que c'est l'intégrale de 1/x, qui n'est pas intégrable au voisinage de zéro.
    Pourquoi choisir l'intégrale qui s'annule en un ?
    Pour avoir une jolie formule ln(ab)=ln(a)+ln(b).
    Après, pour calculer ln(x), il suffit d'appocher l'intégrale de 1/x entre 1 et x, et ça, c'est très faisable numériquement.

    __
    rvz

  4. #3
    soleildz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    pas satisfait ....

    df = R*+ parceque ln x est l 'intégrale de 1/x ? non !!
    la question est plus difficile que vous le pensez !
    ne pas reciter le cours svp !!!

  5. #4
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Je ne vois pas ce qui te gêne. On voit bien que les dérivées/primitives des fonctions puissances ont une sorte de trou pour 1/x, et il est tout à fait normal qu'on veuille en trouver une primitive. Pour moi, c'est comme ça que l'on a eu l'idée d'inventer le log.

    Une autre manière de voir, c'est d'inventer l'exponentielle en premier, via sa série entière ou sa propriété carctéristique f'=f, et de vérifier qu'elle est bien définie de R dans R+*.

    D'ailleurs, je ne vois pas trop où tu voudrais la définir ailleurs...

    Enfin, ceci n'est pas mon cours, et ce, depuis un certain temps.

    Cordialement,

    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    erik

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Pour moi, c'est comme ça que l'on a eu l'idée d'inventer le log.
    Oh la, il faut faire la différence entre les cours que l'on enseignent aujourd'hui, ou tout se déroule logiquement, sans impasses ou tatonnement et l'histoire des sciences.

    John Napier a vécu de 1550 à 1617, à l'époque la notion de primitive ou d'integration n'existait pas.

    Pour ceux que cela interresse :L'histoire des logarithmes

  8. #6
    Quinto

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par soleildz
    df = R*+ parceque ln x est l 'intégrale de 1/x ? non !!
    Bein si...
    Tu peux même montrer (ce que sous entend probablement rvz) que si tu veux la prolonger à C, c'est impossible.
    En fait il est clair que x->1/x est continue sur R*+, donc en particulier possède une primitive. De même sur R*-, le problème est que ca ne signifie pas qu'elle en possède une sur R tout entier.

    Comme je viens de le dire, on peut prolonger le log de manière naturelle à C, mais il faut que l'on enlève certains points, notamment toujours cette fameuse droite R-.
    C'est la manière la plus "naturelle" (en ce sens que c'est ce qui se passe dans R) mais pas la seule. Pour définir le log sur un sous ensemble de C, il faut et il suffit que ca se fasse sur un ensemble simplement connexe ne contenant pas 0.

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  10. #7
    Greyplayer

    Re : La fonction logarithme népérien...

    comment definir le ln sur C?
    -comme primitive de x->1/x? mais comment primitive-t-on sur C?
    -comme reciproque de l'exponentielle?mais alors
    ln(i)=ln(exp(i*Pi/2))=i*Pi/2
    et ln(i)=ln(exp(i*5*Pi/2))=5*i*Pi/2
    5=1????
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

  11. #8
    matthias

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Greyplayer, si ça t'intéresses vraiment, tu devrais aller regarder du côté des fonctions holomorphes, des intégrales le long d'un chemin, etc.

  12. #9
    soleildz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    salut à tous ,

    ERIC A COMPRIS LE PROBLEME !

    et si un de vos éléves , le premier jour où vous définissez
    la fonction log, vous demande ceci ... pourquoi l ' ensemble de definition n'est pas R* !!!! si vous voulez
    le tromper récitez lui les formules qu'il pas pas encore vues ! nous avions appris à calculer la racine carrée
    d'un nombre manuellement sans une table et pourqoui pas ln(x) ? et si néper avais dit que ln(x) = ln(-x) nous aurions refusé ??

    bon appetit

  13. #10
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par soleildz
    salut à tous ,

    ERIC A COMPRIS LE PROBLEME !

    et si un de vos éléves , le premier jour où vous définissez
    la fonction log, vous demande ceci ... pourquoi l ' ensemble de definition n'est pas R* !!!! si vous voulez
    le tromper récitez lui les formules qu'il pas pas encore vues ! nous avions appris à calculer la racine carrée
    d'un nombre manuellement sans une table et pourqoui pas ln(x) ? et si néper avais dit que ln(x) = ln(-x) nous aurions refusé ??
    Je ne suis pas d'accord avec toi. Tu demandes une référence historique comme preuve mathématique ?
    L'histoire des mathématiques est peuplée d'exemples qui ont été généralisés par la suite, et qui permettent une bien meilleure compréhension des objets que l'on traite.

    Aujourd'hui, si je devais présenter le logarithme, je le ferai par la définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle. (Théorème de Cauchy Lipschitz). Puis, via des séries entières, des dérivations de fonctions composées, je tomberai sur le logarithme.
    Pourquoi je le ferai dans cet ordre là ? Parce que Cauchy Lipschitz est vrai dans beaucoup d'espaces (Banach), et permet de définir la fonction exponentielle dans des espaces de dimension supérieure à 1 (ce qui coincide avec la définition par séries entières, soit dit en passant).
    Après, si tu as envie d'appeler truc(x)= -ln(|x|) avec x dans R*, ça ne regarde que toi, mais tu vas avoir du mal à généraliser cette définition.

    Je n'ai pas l'impression de tromper quand je définis proprement ce que je fais. La seule chose que demande les maths, c'est de la rigueur.

    __
    rvz

  14. #11
    matthias

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par rvz
    JAujourd'hui, si je devais présenter le logarithme, je le ferai par la définition de la fonction exponentielle comme solution d'une équation différentielle. (Théorème de Cauchy Lipschitz). Puis, via des séries entières, des dérivations de fonctions composées, je tomberai sur le logarithme.
    Tu ferais ça pour des lycéens ?

    Sinon, la question de soleildz était:
    Pourquoi néper avait limité son ensemble de definition à R*+ ?
    donc elle était implicitement historique.

    Maintenant je ne suis pas d'accord pour autant avec le reste de ses remarques. L'approche historique est parfois intéressante, mais il serait idiot de ne pas utiliser les résultats, simplifications et généralisations que les mathématiques ont ensuite apportées.

  15. #12
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    En fait, si ça ne tenait qu'à moi, je ferai un vrai cours de maths où tout serait démontré. N'est-il pas absurde que les limites ne soient pas définies proprement au lycée alors qu'on passe son temps à en calculer ?
    Ce n'est pas des maths, c'est réciter bêtement un cours. En fait, je dois avouer que je ne comprends pas les profs de maths du lycée. Ca doit être chiant à pleurer. Ils ne peuvent même pas être précis, ils n'ont même pas le plaisir de faire vraiment des maths...

    C'est peut-être un peu une logique bourbakiste, mais je trouve qu'on devrait partir de zéro, histoire de fonder toute la théorie sur quelque chose de solide. Bon, cela dit, je comprends qu'on ne leur fasse pas Zermelo Frankel, aux lycéens, hein Je trouve juste dommage que pour la plupart des gens, y compris ceux qui ont fait une TS Maths, les maths, c'est juste apprendre son cours et appliquer une formule.

    __
    rvz

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  17. #13
    erik

    Re : La fonction logarithme népérien...

    N'est-il pas absurde que les limites ne soient pas définies proprement au lycée
    Il fut un temps où les choses étaient proprement définis. J'ai passé mon bac en 88, on manipulait les sans être traumatisé par la chose (et ça en 1ere S). On avait même les espaces vectoriels au programme !

    Et puis il fut décidé qu'il fallait 80% de la classe d'age au bac...

  18. #14
    matthias

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par rvz
    N'est-il pas absurde que les limites ne soient pas définies proprement au lycée alors qu'on passe son temps à en calculer ?
    Je crois que ce qu'ils font maintenant est quand-même un peu plus rigoureux que ce que j'ai fait moi au lycée sur les limites. Nous on avait des suites de références et des théorèmes d'encadrement, mais la notion même de limite n'était jamais définie. Je m'étais même pris la tête avec mon prof de maths là-dessus ...

  19. #15
    christophe_de_Berlin

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par rvz
    N'est-il pas absurde que les limites ne soient pas définies proprement au lycée alors qu'on passe son temps à en calculer ?
    __
    rvz
    Euh... pardon de m´introduire dans cette discussion, peut-être suis-je un peu trop vieux, mais á mon époque, on a eu une définition très exacte des limites. C´est plus ça ou quoi?

    christophe

  20. #16
    christophe_de_Berlin

    Re : La fonction logarithme népérien...

    je m´étonne encore une fois: y´a plus les espaces vectoriels au lycée?!! Même pas en Terminale S?

  21. #17
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Ba en tout cas, je n'ai jamais vu ça au lycée. Mais les programmes sont constamment remodelés, alors qui sait ?
    Je suis Bac 2000, pour vous donner une idée.

    __
    rvz

  22. #18
    martini_bird

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Salut,

    pour répondre à la question initiale: la réponse la plus simple à la question "pourquoi Napier n'a pas défini les logarithmes de nombres négatifs?" est qu'à l'époque les nombres négatifs ne sont pas de vrais nombres: ils sont faux!

    Napier a écrit ses deux traités au sujet des logarithmes (1614 & 1619) afin de faciliter des calculs pénibles: il s'est en particulier inspiré de l'analogie entre progression arithmétique et géométrique. Or dans les deux cas, il s'agit de nombres positifs...
    Notons que son sytème conduit à un logarithme en base 1/e.

    Le problème des logarithmes des nombres négatifs (ou complexes) est beaucoup plus compliqué: la controverse entre Jean Bernoulli (pour qui log(-x)=log(x)) et Leibniz (qui soutenait que les log de nombres négatifs ne peuvent pas exister) fut éclairée par Euler (après les travaux de Cotes et de De Moivre), qui a eu l'idée (1749) d'attribuer une infinité de logarithmes à un nombre donné (fonction multi-valué). Il faudra cependant attendre les travaux de Riemann (1850's) pour comprendre un peu mieux le phénomène (en terme moderne: l'exponentielle est un revêtement ramifié du plan).

    Cordialement.

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  24. #19
    soleildz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    salut à toutes et à tous ,

    quelques uns ont bien compris le probléme posé ! au fait
    nos professeurs avalent le cours et nous le vomi ! sinon
    comment un professeur pourra convaincre un éléve de
    terminale que l'ensemble de definition de ln(x) est R*+ juste au début du chapitre ( drivées et primitives ) ?
    j'avais appris que pour déviser une fraction par une autre
    je multiplie la premiére par l'inverse de la seconde. (le prof me l'avait dit ) , son prof le lui avait dit ....il y a qelqu'un à qui on n'avait rien dit je crois ! nous avons tous accepté R*+ comme ensemble de definition de ln(x) .
    A+

  25. #20
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
    Et quand je ne comprends pas, je pose la question, toujours !
    __
    rvz

  26. #21
    martini_bird

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par soleildz
    salut à toutes et à tous ,

    quelques uns ont bien compris le probléme posé ! au fait
    nos professeurs avalent le cours et nous le vomi ! sinon
    comment un professeur pourra convaincre un éléve de
    terminale que l'ensemble de definition de ln(x) est R*+ juste au début du chapitre ( drivées et primitives ) ?
    j'avais appris que pour déviser une fraction par une autre
    je multiplie la premiére par l'inverse de la seconde. (le prof me l'avait dit ) , son prof le lui avait dit ....il y a qelqu'un à qui on n'avait rien dit je crois ! nous avons tous accepté R*+ comme ensemble de definition de ln(x) .
    A+
    Tu as lu ce que j'ai écrit?

    Sinon, tu pourrais aussi formuler de manière plus précise ta problématique!

    De plus, ce serait cool d'arrêter de prendre de haut les gens qui essaient d'apporter une réponse à ta question...

  27. #22
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par martini_bird
    De plus, ce serait cool d'arrêter de prendre de haut les gens qui essaient d'apporter une réponse à ta question...
    Ah ! Je suis content. Je ne suis pas le seul que ça énerve

    __
    rvz

  28. #23
    space-kro

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Bonsoir,

    Je voudrais juste un peu continuer sur le sujet des programmes de mathématiques. Effectivement on a l'impression que les programmes sont un peu creux.

    Je sors d'une semaine où j'ai donné des cours à des terminales S dans le cadres d'un stage pendant les vacances de février. Si vous aviez vu leur tête lorsque j'ai essayé de leur expliquer le principe de le récurrence... j'ai à peine réussi à leur faire entrevoir le phénomène de propagation au rang suivant d'un propriété et cela au bout de quatre heures de cours (et il l'avait déjà vu au lycée). Sachant que tous ne vont pas continuer les maths après leur bac, je ne vois pas l'intérêt de pénaliser encore plus ceux qui ne comprennent rien.

    Personnellement, j'étais interressé par les maths au lycée et j'allais voir mon prof pour approfondir, alors je ne vois pas pourquoi on dramatise le fait qu'ils ne voient pas les espaces vectoriels...

    cordialement
    Dernière modification par space-kro ; 11/02/2006 à 21h44.

  29. #24
    Quinto

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Je suis assez d'accord avec rvz et martini-bird, je ne vois pas vraiment l'intéret de ce topic, mis a part le fait que quelqu'un se sente frustré de quelque chose vis à vis de l'enseignement, mais quoi?

    L'enseignement n'est pas toujours bon, oui c'est vrai, un peu comme beaucoup d'autres choses. Certains profs sont mauvais et expliquent mal les concepts à leurs élèves, oui c'est vrai aussi, et on trouve ca dans beaucoup d'autres professions. Et ensuite, que cherche t'on à faire dans ce topic?

    Il me semble que la réponse à la question de base a été donnée sous plusieurs angles, notamment par rvz et moi même.

    Bref, où va t'on et pourquoi y allons nous?

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  31. #25
    space-kro

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Je me disais bien aussi que mon message était hors-sujet, j'ai un peu hésité avant de le mettre.

    Dsl je le referais plus...

  32. #26
    soleildz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    salut ,

    en d'autres termes , y'a-t-il des contradictions mathématiques si ln(x) est definie sur R* ? si oui
    lesquelles ? question d'un éléve à son professeur...

  33. #27
    soleildz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par space-kro
    Je me disais bien aussi que mon message était hors-sujet, j'ai un peu hésité avant de le mettre.

    Dsl je le referais plus...
    hum.....cela fait 25 ans que j'enseigne! hors sujet en maths??

  34. #28
    rvz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    Citation Envoyé par soleildz
    salut ,

    en d'autres termes , y'a-t-il des contradictions mathématiques si ln(x) est definie sur R* ? si oui
    lesquelles ? question d'un éléve à son professeur...
    Ca dépend quelles propriétés tu veux avoir. Notamment, la formule
    ln(ab) = ln(a)+ln(b)
    implique les choses suivantes :
    ln(-a) = ln(a) + ln(-1)
    ln(1) = 2 *ln(-1) =0 Donc ln(-1) =0
    Donc ln(-a) = ln(a)
    De plus, exp(ln(x)) = x
    Donc exp(ln(-1)) = 1 ou -1 ?
    Tu veux proposer exp(lnx)= module de x ?
    Mais, avec la définition en série entière de log, puis en utilisant la formule de prolongement analytique,
    tu obtiens exp(ln(1+it) ) = 1+ it ( pour t assez petit par exemple) et j'ai peur que ça ne convienne plus...

    __
    rvz

  35. #29
    soleildz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    salut ,

    vous avez oubliez votre réponse que voici...hors sujet

    --------------------------------------------------------------------------------

    Bonjour,

    en fait mon message était hors sujet parce que je parlais de l'enseignement des maths au lycée et pas vraiment de la fonction ln

    cordialement,

    Baptiste
    __________________
    " Il faut apprendre à se forcer " (Kant)

  36. #30
    soleildz

    Re : La fonction logarithme népérien...

    hors sujet en maths ?

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