Calcul de Polynôme Caractéristique et Déterminants en X

[invitec5d4310d]

Bonjour, je bloque sur un problème pourtant simple,
Le calcul de polynômes caractéristiques pour les matrices.

Je sais que P_A[X] = Det [A - X*I]
Donc je me retrouve, la plupart du temps avec une matrice complète (ni diagonale, ni triangulaire sup.)

Ainsi c'est un simple calcul de déterminant, généralement 3x3.
Par la méthode assez simple des permutations, je développe.

Mais à chaque fois, on ne nous donne que le résultat factorisé, que je n'arrive jamais à retrouver après développement.


Un exemple pour illustrer mon pb :
(NB : désolé pour le codage matricielle que je ne sais pas faire, merci)

A= (2 -2 1)
(2 -3 2)
(-1 2 0)

Alors P_A[X] = det |2-X -2 1
|2 -3-X 2
|-1 2 -X

Lorsque je développe, je trouve =>
= (2-X)(-3-X)(-X) + (-2)(2)(-1) + (2)(2)(1) - (2)(2)(2-X) - (2)(-2)(-X) - (-1)(1)(3-X)
Jusque là, aucun problème.

Mais le résultat que l'on nous donne, (factorisé, afin de voir si P est scindé ou non) est
= (X-1)² (X+3)

Question : Comment suis-je censé trouver ce résultat ? En le connaissait d'avance, on peut factoriser et retomber sur ses pattes, mais comme ça, je ne sais pas.
Merci de m'éclairer,

Cordialement,
SuprAlgebra.
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[Seirios]

Bonjour,

Quand tu cherches à factoriser un polynôme, la première chose est de regarder les racines évidentes, ie. tester si -2, -1,..., 2 sont racines. Plus généralement, lorsque tu as un polynôme à coefficients entiers, il est facile de trouver un nombre fini de racines rationnelles possibles, et de les tester.

[invitec5d4310d]

Bonjour, merci de votre réponse.
Donc si je comprend bien, l'idée serait déjà de le développer complètement :

= (-X³ - X² + 6X) + 4 + 4 - 8 + 4X + 4X + 3 -X
= -X³ - X² + 13X + 3

je cherche donc à annuler ce polynôme.
Mais je ne vois pas de racine évidente (ni -1, ni 0, ni 1, ni 2, ni 3, ni 4, ni après)
Comment faire dans ce cas précis alors. ?

et comment le professeur peut-il trouver 1 comme racine double, et -3 comme racine simple, alors que de toute évidence, ni l'un ni l'autre ne sont racines.. :/

[Seirios]

Visiblement, tu as fait une erreur de calcul : http://www.wolframalpha.com/input/?i...+2%2C+-X%7D%29

[A voir en vidéo sur Futura]